Afirmativa
A probabilidade de que o processo eventualmente alcance X_t=1 para algum t>0 é igual a 1 se \theta>1/2.
Estatística · ANPEC 2027
Questão 10, item 4
Raiz unitária, passeio aleatório e cointegração
Enunciado da questão
Considere o seguinte processo \{X_t\}_{t\in\mathbb N\cup\{0\}},
X_0=0
X_t=X_{t-1}+\epsilon_t,\quad t>0,
onde \{\epsilon_t\}_{t\in\mathbb N} é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com a seguinte distribuição:
P[\epsilon_t=1]=\theta,
P[\epsilon_t=-1]=1-\theta,
para algum \theta\in(0,1). Com base no acima exposto, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 0:
O valor esperado de X_t é dado por E[X_t]=\theta t.
-
Item 1:
A variância de X_t é dada por V[X_t]=2\theta(1-\theta)t.
-
Item 2:
A covariância entre X_t e X_s é dada por 4\theta(1-\theta)\min\{t,s\}.
-
Item 3:
O processo \{X_t\} é estacionário para \theta=1/2 e não estacionário para \theta\ne 1/2.
Como os incrementos são i.i.d. e têm média \mathbb{E}(\epsilon_t)=\theta-(1-\theta)=2\theta-1, a condição \theta\gt 1/2 implica deriva positiva. Pela Lei Forte dos Grandes Números, X_t/t\to 2\theta-1\gt 0 quase certamente. …
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