Questão 13, item 3

Autovalores, autovetores e diagonalização

Enunciado da questão

Considere a matriz $A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}$ como um operador linear em $\mathbb{R}^2$ e o produto interno entre $u=(u_1,u_2)$ e $v=(v_1,v_2)$ definido por $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2$ . Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:

Afirmativa

Sejam $u$ e $v$ dois vetores com o mesmo comprimento, ou seja, $|u|=|v|$ . Então $u\cdot Au=v\cdot Av$ .

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Resolver a questão inteira

Item 0:
A matriz $A$ não corresponde a um operador ortogonal.
Item 1:
O polinômio característico de $A$ é $\lambda^2-2\lambda\cos(\theta)+1$ e suas raízes são complexas se $\theta\neq 0$ , ou seja, envolvem uma raiz quadrada de um número negativo.
Item 2:
$A$ é uma matriz de rotação; logo, para todo vetor $v\in\mathbb{R}^2$ , temos que, se o vetor $u=Av$ , então $|u|=|v|$ .
Item 4:
Se $\theta=\frac{\pi}{4}$ , então $A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Itens da questão

0 1 2 3 4

Resolver a questão inteira

Matemática 2019

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Enunciado da questão

Afirmativa

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