Questão 13 — Matemática · ANPEC 2019
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Enunciado da questão
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
Item 0
A matriz A não corresponde a um operador ortogonal.
Item 1
O polinômio característico de A é \lambda^2-2\lambda\cos(\theta)+1 e suas raízes são complexas se \theta\neq 0, ou seja, envolvem uma raiz quadrada de um número negativo.
Item 2
A é uma matriz de rotação; logo, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2, temos que, se o vetor u=Av, então |u|=|v|.
Item 3
Sejam u e v dois vetores com o mesmo comprimento, ou seja, |u|=|v|. Então u\cdot Au=v\cdot Av.
Item 4
Se \theta=\frac{\pi}{4}, então A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.