Matemática – Anpec 2019
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 01
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A^ccap C={12,30,40}.
Enunciado da questão 01
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Existe uma função bijetiva cujo domínio seja Atimes B e o contradomínio seja C.
Enunciado da questão 01
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Atimes B={1,2,10,11,12}.
Enunciado da questão 01
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se xin A, então xin C.
Enunciado da questão 01
Considere os conjuntos A={1,2}, B={10,11,12} e C={2,12,30,40} dos números naturais. P=Atimes B é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, A^c é o complementar de A e D=A-C é a diferença entre dois conjuntos. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Dcup A=A.
Questão 02
Enunciado
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 02
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
A função g é injetora.
Enunciado da questão 02
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
A função f é sobrejetora.
Enunciado da questão 02
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
Se f é sobrejetora, então f(g(x))=x para todo xin B.
Enunciado da questão 02
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
A função q:Ato Atimes B definida por q(x)=(x,h(x)) é injetora para qualquer h:Ato B.
Enunciado da questão 02
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A. Julgue as seguintes afirmativas:
Se definimos p:Atimes Bto A como p(x,y)=x, então p é sobrejetora.
Questão 03
Enunciado
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Enunciado da questão 03
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
A equação vetorial da reta ortogonal ao plano P, que passa pelo ponto (-2,0,z_0)\in P, é (x,y,z)=(-2,0,1)+t(1,2,-3), para todo t real.
Enunciado da questão 03
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
A equação paramétrica da reta ortogonal ao plano Q, que passa pelo ponto (1,y_0,2)\in Q, é x=1+t, y=3+2t, z=3-2t, para todo t real.
Enunciado da questão 03
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Um vetor ortogonal ao plano gerado pelas retas ortogonais aos planos P e Q é (1,-8,-5).
Enunciado da questão 03
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Sejam L_P a reta ortogonal a P passando pelo ponto (-2,0,z_0)\in P e L_Q a reta ortogonal a Q passando pelo ponto (1,y_0,2)\in Q. L_P e L_Q têm um ponto em comum.
Enunciado da questão 03
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3, respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
A equação cartesiana do plano gerado pelas retas L_P e L_Q do item 3 e que contém o ponto (1,1,1) é x-8y-5z+12=0.
(Item 3: Sejam L_P a reta ortogonal a P passando pelo ponto (-2,0,z_0)\in P e L_Q a reta ortogonal a Q passando pelo ponto (1,y_0,2)\in Q. L_P e L_Q têm um ponto em comum.)
Questão 04
Enunciado
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Enunciado da questão 04
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Um indivíduo comprou uma casa no valor de R$ 100.000,00, em 100 parcelas mensais, pelo sistema SAC (Sistema de Amortização Constante). Desconsiderando a inflação, o saldo devedor depois do 60º pagamento será de R$ 43.333,34.
Enunciado da questão 04
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Se um indivíduo depositar R$ 1.000,00 hoje em um investimento que paga 10% de juros ao ano e não fizer nenhum depósito adicional, ele terá de esperar 2/\log_{10}(1,1)\approx 50 anos para juntar um milhão de reais.
Enunciado da questão 04
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Um instrumento financeiro pagará R$ 1.100,00 daqui a um ano ao ser contratado hoje por R$ 1.000,00. Mantendo fixo o pagamento daqui a um ano, se a taxa de juros diminuir, o valor contratado hoje deve aumentar.
Enunciado da questão 04
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Considere uma taxa de juros composta constante e igual a 2% ao ano e um instrumento financeiro que pague R$ 100,00 por ano, durante um número infinito de anos (ou seja, uma perpetuidade). O preço deste instrumento hoje é de R$ 5.000,00.
Enunciado da questão 04
Considere que \log_{10}(1,1)\approx 0,04. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Uma empresa tomou emprestado R$ 10.000,00. Para quitar seu empréstimo, pagou R$ 1.000,00 depois de vencido o primeiro ano e R$ 11.000,00 depois de vencido o segundo ano. A taxa de juros compostos implícita nesta operação é de 11%.
Questão 05
Enunciado
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
Enunciado da questão 05
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
\lim_{xto0}\frac{x-sen 3x}{x+sen 2x}=\frac{2}{3}.
Enunciado da questão 05
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
\lim_{xto0}\frac{\tan x}{x}=1.
Enunciado da questão 05
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
\lim_{xto a}\frac{sen x-sen a}{x-a}=\cos a.
Enunciado da questão 05
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
\lim_{xto0}\frac{5^x-2^x}{x}=\ln2-\ln5.
Enunciado da questão 05
Considere os seguintes limites fundamentais: \lim_{xto0}\frac{sen x}{x}=1, \lim_{xto0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, com a diferente de zero, e \lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, com e sendo a base do logaritmo natural. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
\lim_{xtoinfty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x=\sqrt{e}.
Questão 06
Enunciado
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Enunciado da questão 06
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Se a=2 e b=1, então A é uma matriz não-singular.
Enunciado da questão 06
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Se a=b, então a equação \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} tem infinitas soluções.
Enunciado da questão 06
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Segundo a Regra de Cramer, a solução para o sistema de equações lineares \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} é x_1=\frac{\det N_3}{\det A}, x_2=\frac{\det A}{\det N_2} e x_3=\frac{\det N_1}{\det A}.
Enunciado da questão 06
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Os parâmetros s, t e u, para os quais o plano p(s,t) se encontra com a reta r(u), satisfazem a equação \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\t\\u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}.
Enunciado da questão 06
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Se a=0, então o plano p(s,t) e a reta r(u) não se interceptam.
Questão 07
Enunciado
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 07
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
Seja \mathbf{x}^*=(x_1^*,x_2^*,x_3^*,x_4^*) um ponto no \mathbb{R}^4. Para que \mathbf{x}^*inmathbb{R}^4 seja um ponto crítico é necessário que -2x_1^*-1=2x_2^*=-3(x_3^*)^2=4(x_4^*)^3=0.
Enunciado da questão 07
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
A matriz Hessiana H de f no ponto \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) é \begin{pmatrix}-2&0&0&0\0&2&0&0\0&0&-3x_3&0\0&0&0&4x_4\end{pmatrix}.
Enunciado da questão 07
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
A matriz Hessiana H de f é indefinida em \mathbb{R}^4.
Enunciado da questão 07
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
f possui um máximo local em \mathbf{x}^*=(1,0,0,0).
Enunciado da questão 07
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
O determinante da matriz Hessiana de f é positivo para todo \mathbf{x}inmathbb{R}^4, isto é, \det H_f(\mathbf{x})>0.
Questão 08
Enunciado
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Enunciado da questão 08
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
As funções f(x)=\ln(x^2-x+1) e g(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2-x+1}\right) se anulam nos mesmos pontos.
Enunciado da questão 08
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
A função f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x-1}>0, para x>1.
Enunciado da questão 08
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
A função do item 1 é estritamente crescente e limitada superiormente por zero.
Item 1:
A função f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x-1}>0, para x>1.
Enunciado da questão 08
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Se f é a função do item 1, então temos que \sup_{x\gt 1} f(x)\gt 0, em que \sup_{x\gt 1} f(x) é o supremo de f para x\gt 1.
Item 1:
A função f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x-1}>0, para x>1.
Enunciado da questão 08
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
O mínimo da função 1-xe^{-x} é atingido em x=1.
Questão 09
Enunciado
Os computadores calculam algumas funções matemáticas usando o Polinômio de Taylor. Para ilustrar este procedimento, calcule \left(fleft(\frac{3}{10}\right)-P_2\left(\frac{3}{10}\right)\right)\times 10^4, em que f(x)=\ln(1+x) e P_2(x) é o Polinômio de Taylor de segunda ordem da função f(x), em torno de x=0. Para fazer este cálculo use 0,2623 como valor para \ln(1,3).
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Questão 10
Enunciado
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
Enunciado da questão 10
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
Se \int f(x),dx=e^{x^2}, então f(x)=x^2e^{x^2}.
Enunciado da questão 10
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
Se a expansão em Taylor até terceira ordem de f(x) em x=0 é P_3(x)=5x^3, então podemos afirmar que f(x) tem um ponto de inflexão em x=0.
Enunciado da questão 10
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
\int_1^e \ln x,dx=1.
Enunciado da questão 10
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
\int_{-0,5}^{0,5}\frac{2x}{1-x^2},dx=\int_{u_1}^{u_2}\frac{1}{-u},du=\ln(0,75)-\ln(0,25), em que u=x^2-1.
Enunciado da questão 10
Considere que f(x), g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x). Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
Como \frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)]=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x), então \int_a^b f(x)g(x)h'(x),dx=[f(b)g(b)h(b)-f(a)g(a)h(a)]-\int_a^b[f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)],dx.
Questão 11
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 11
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A integral \int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2+x} é convergente.
Enunciado da questão 11
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A integral \int_2^{\infty}\frac{dx}{x^2-x+1} não converge.
Enunciado da questão 11
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} converge porque \frac{1}{n} tende para zero quando n vai para o infinito.
Enunciado da questão 11
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k^2(\ln 2)^2} diverge porque \frac{2^k}{k^2(\ln 2)^2} tende para o infinito quando k vai para o infinito.
Enunciado da questão 11
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(2^k)} converge.
Questão 12
Enunciado
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
Enunciado da questão 12
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
A função U é homogênea de grau 1.
Enunciado da questão 12
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
O gradiente de U é \left(\frac{115}{100}-\frac{4}{100}w_1,\frac{12}{10}-\frac{9}{100}w_2\right).
Enunciado da questão 12
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
Seja (w_1^*,w_2^*) a solução do problema de maximização com restrições acima. Se w_1^*>0 e w_2^*>0, então o vetor gradiente de U em (w_1^*,w_2^*) deve ser perpendicular à reta definida pela equação w_1+w_2=1.
Enunciado da questão 12
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
A derivada direcional de U no ponto \left(\frac{100}{4},\frac{100}{9}\right) e na direção \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) é \frac{45}{100}\sqrt{2}.
Enunciado da questão 12
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2), sujeita às restrições w_1+w_2=1, w_1\geq0 e w_2\geq0. Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
A solução do problema de maximização com restrição acima é (w_1^*,w_2^*)=(0,1), ou seja, o investidor prefere investir todo o seu dinheiro em apenas um instrumento financeiro.
Questão 13
Enunciado
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
Enunciado da questão 13
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
A matriz A não corresponde a um operador ortogonal.
Enunciado da questão 13
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
O polinômio característico de A é \lambda^2-2\lambda\cos(\theta)+1 e suas raízes são complexas se \theta\neq 0, ou seja, envolvem uma raiz quadrada de um número negativo.
Enunciado da questão 13
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
A é uma matriz de rotação; logo, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2, temos que, se o vetor u=Av, então |u|=|v|.
Enunciado da questão 13
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
Sejam u e v dois vetores com o mesmo comprimento, ou seja, |u|=|v|. Então u\cdot Au=v\cdot Av.
Enunciado da questão 13
Considere a matriz A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} como um operador linear em \mathbb{R}^2 e o produto interno entre u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) definido por u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2. Classifique os itens como falsos ou verdadeiros:
Se \theta=\frac{\pi}{4}, então A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Questão 14
Enunciado
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 14
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
A matriz que representa o operador T é dada por \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Enunciado da questão 14
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
A reta x+y=1 é transformada por T em uma reta horizontal.
Enunciado da questão 14
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
As retas x=0 e y=0 são transformadas por T em duas retas ortogonais.
Enunciado da questão 14
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
O operador T transforma a região D em um retângulo.
Enunciado da questão 14
Considere o operador linear definido por T(x,y)=(x+y,x-y). Seja D a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0. Julgue as seguintes afirmativas:
A área da região T(D) é a metade da área de D.
Questão 15
Enunciado
Seja V=\iint_D f(x,y),dx,dy, em que D={(x,y)inmathbb{R}^2:x^2+y^2\leq1 e ygeq0} e f(x,y)=1-x^2-y^2. Calcule \frac{100}{\pi}V.
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