ANPEC 2019 — Matemática – Anpec 2019 — Questão 06
Enunciado da questão
Considere a equação do plano p(s,t)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} e a equação da reta r(u)=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}u. Além disso, considere as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_1=\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}, N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & -b \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix} e N_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujos determinantes são: \det A=-a, \det N_1=b+a, \det N_2=-b e \det N_3=1. Com base nestas informações, indique quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos:
Analise a afirmativa
Se a=2 e b=1, então A é uma matriz não-singular.
Analise a afirmativa
Se a=b, então a equação \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} tem infinitas soluções.
Analise a afirmativa
Segundo a Regra de Cramer, a solução para o sistema de equações lineares \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} é x_1=\frac{\det N_3}{\det A}, x_2=\frac{\det A}{\det N_2} e x_3=\frac{\det N_1}{\det A}.
Analise a afirmativa
Os parâmetros s, t e u, para os quais o plano p(s,t) se encontra com a reta r(u), satisfazem a equação \begin{pmatrix}1 & 1 & -a \\ 0 & -1 & -b \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\t\\u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}.
Analise a afirmativa
Se a=0, então o plano p(s,t) e a reta r(u) não se interceptam.