Questão de prova ANPEC

ANPEC 2019 — Matemática – Anpec 2019 — Questão 07

Exame: ANPEC 2019 Prova: Matemática – Anpec 2019 Questão 07 5 itens V/F
Matérias
Matemática
Assuntos
Concavidade, convexidade e Hessiana Matrizes e determinantes

Enunciado da questão

Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R}, definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k, e verifique a veracidade das seguintes afirmações:

Item 0

Analise a afirmativa

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Matemática Concavidade, convexidade e Hessiana

Seja \mathbf{x}^*=(x_1^*,x_2^*,x_3^*,x_4^*) um ponto no \mathbb{R}^4. Para que \mathbf{x}^*inmathbb{R}^4 seja um ponto crítico é necessário que -2x_1^*-1=2x_2^*=-3(x_3^*)^2=4(x_4^*)^3=0.

Item 1

Analise a afirmativa

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Matemática Matrizes e determinantes

A matriz Hessiana H de f no ponto \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) é \begin{pmatrix}-2&0&0&0\0&2&0&0\0&0&-3x_3&0\0&0&0&4x_4\end{pmatrix}.

Item 2

Analise a afirmativa

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Matemática Matrizes e determinantes

A matriz Hessiana H de f é indefinida em \mathbb{R}^4.

Item 3

Analise a afirmativa

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Matemática Concavidade, convexidade e Hessiana

f possui um máximo local em \mathbf{x}^*=(1,0,0,0).

Item 4

Analise a afirmativa

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Matemática Matrizes e determinantes

O determinante da matriz Hessiana de f é positivo para todo \mathbf{x}inmathbb{R}^4, isto é, \det H_f(\mathbf{x})>0.