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Questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se x\neq 0 não é diferenciável.
Não respondido
Considere as funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x. Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2\in\mathbb{R}, com x_1\neq x_2, tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
Não respondido
Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix}. Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
Não respondido
Dada a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1), \forall (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.
Não respondido
Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)). Então, o conjunto V=\{h(x):x\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2.
Questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3 . Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\} , além de W=S\cap T . Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
Se os vetores u e v são linearmente independentes, então W contém apenas o vetor nulo do espaço V.
Não respondido
O conjunto C=\{x+y:x\in S,\ y\in T\} é um subespaço vetorial de V com a propriedade de que C\subseteq W.
Não respondido
Se os vetores u e v são linearmente dependentes, então S=T.
Não respondido
Suponha que u\neq v e seja W^\perp o complemento ortogonal de W. Então, W^\perp é um subespaço vetorial de V em que \dim W^\perp=2.
Não respondido
Se u=(2,1,2) e v=(0,1,0), então o conjunto W contém o subespaço invariante associado ao autovalor negativo da matriz \begin{pmatrix}-2&0&-3/2\\0&1&0\\3&0&5/2\end{pmatrix}.
Questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2 : R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0) ; P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=0} ; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já menc…
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
Não respondido
[T]=[R][P].
Não respondido
O determinante de [R] é -1.
Não respondido
Tanto o posto de [P] como o de [T] são iguais a 1.
Não respondido
Ambas [P] e [T] são idempotentes.
Não respondido
(1,-1) é um autovetor de T.
Questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2 , cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\} , \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2} , \|x\|_S=|x_1|+|x_2| . Fixados \alpha,\beta\in[0,1] , considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix} . Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2 . Julgue as seguintes afirmativ…
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Não respondido
Se x \in C=\{z \in \mathbb{R}^2: ||z||_M=1\}, então Ax \in C.
Não respondido
Se x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 é tal que |x_1|=|x_2|=1, então ||x||_M=||x||_E=||x||_S.
Não respondido
Se \alpha+\beta=1 e \alpha\gt\beta, então A é uma matriz simétrica que cumpre \langle x,Ax\rangle\gt 0 para todo x\in\mathbb{R}^2 tal que x\neq(0,0).
Não respondido
Se 0\lt\alpha\lt 1 e 0\lt\beta\lt 1, então a matriz A define uma bijeção L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por meio da expressão L(x)=Ax.
Não respondido
A função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida pela regra F(x)=\langle x,Ax\rangle satisfaz |F(x)|\leq \|Ax\|_M sempre que \|x\|_S=1.
Questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
Seja A uma matriz quadrada e A^t a sua transposta. Se B=A+A^t e A é simétrica, então as matrizes A e B têm o mesmo núcleo.
Não respondido
Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo dos reais e U um subespaço vetorial de V. Suponha que U tem dimensão N \ge 1 e que o vetor x \in V satisfaz x \notin U. Nesse caso, vale que o conjunto W=\{u+tx: u \in U, t \in \mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de V e W tem dimensão N+1.
Não respondido
Seja L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m uma transformação linear tal que para qualquer x \in \mathbb{R}^n vale que L(x)=(y_1,\ldots,y_m) \in \mathbb{R}^m satisfaz y_i \ge 0 para todo i=1,\ldots,m. Nesse caso, a matriz que representa L é a matriz nula.
Não respondido
Seja o conjunto X no \mathbb{R}^3 definido por X=\{(10/3,-8/3,0)+t(1,7,3): t \in \mathbb{R}\}. Se x^* \in \mathbb{R}^3 minimiza a função f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 sujeito às restrições 2x_1+x_2-3x_3=4 e x_1-x_2+2x_3=6, então x^* \notin X.
Não respondido
Considere H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por H(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,4x_1+x_2,0). Então H é uma transformação linear que é diagonalizável e dois de seus autovalores também são autovalores da matriz \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{bmatrix}.