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Questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se x\neq 0 não é diferenciável.
Não respondido
Considere as funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x. Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2\in\mathbb{R}, com x_1\neq x_2, tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
Não respondido
Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix}. Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
Não respondido
Dada a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1), \forall (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.
Não respondido
Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)). Então, o conjunto V=\{h(x):x\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2.
Questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
Seja A uma matriz quadrada e A^t a sua transposta. Se B=A+A^t e A é simétrica, então as matrizes A e B têm o mesmo núcleo.
Não respondido
Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo dos reais e U um subespaço vetorial de V. Suponha que U tem dimensão N \ge 1 e que o vetor x \in V satisfaz x \notin U. Nesse caso, vale que o conjunto W=\{u+tx: u \in U, t \in \mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de V e W tem dimensão N+1.
Não respondido
Seja L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m uma transformação linear tal que para qualquer x \in \mathbb{R}^n vale que L(x)=(y_1,\ldots,y_m) \in \mathbb{R}^m satisfaz y_i \ge 0 para todo i=1,\ldots,m. Nesse caso, a matriz que representa L é a matriz nula.
Não respondido
Seja o conjunto X no \mathbb{R}^3 definido por X=\{(10/3,-8/3,0)+t(1,7,3): t \in \mathbb{R}\}. Se x^* \in \mathbb{R}^3 minimiza a função f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 sujeito às restrições 2x_1+x_2-3x_3=4 e x_1-x_2+2x_3=6, então x^* \notin X.
Não respondido
Considere H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por H(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,4x_1+x_2,0). Então H é uma transformação linear que é diagonalizável e dois de seus autovalores também são autovalores da matriz \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{bmatrix}.
Questão 02
Seja T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 a aplicação linear definida por Tx=Ax , onde A é a matriz 4\times 3 dada por A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\1&-2&0\\3&0&2\end{pmatrix} . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Seja T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 a aplicação linear definida por Tx=Ax, onde A é a matriz 4\times 3 dada por A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&1\\1&-2&0\\3&0&2\end{pmatrix}. Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Não respondido
O posto de A é igual a 3.
Não respondido
Se s é a dimensão da imagem e r a dimensão do núcleo de T, então r+s=4.
Não respondido
A matriz 3\times 3 formada pela omissão da primeira linha de A tem determinante nulo.
Não respondido
O núcleo de T é um subespaço vetorial de dimensão 1.
Não respondido
As quatro linhas de A constituem um conjunto de vetores linearmente dependente.
Questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
Se {v_1,v_2,v_3}\subseteq V é um conjunto linearmente independente, então o conjunto {v_1-v_3,v_2-v_3,v_3} também é linearmente independente.
Não respondido
Se W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, então o conjunto {w_1-w_2:w_1\in W_1, w_2\in W_2} também é um subespaço vetorial de V.
Não respondido
Para o caso em que V=\mathbb{R}^3, e A e B são duas matrizes reais 3\times 3, suponha que W_1 é o núcleo de A e W_2 é o núcleo de B. Portanto, W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, e o conjunto \{w_1+w_2\in\mathbb{R}^3:w_1\in W_1,\ w_2\in W_2\} é o núcleo da matriz A+B.
Não respondido
Para o caso em que V=\mathbb{R}^2, qualquer elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=1} pode ser expresso como a soma de (1,1) com algum elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=0}.
Não respondido
Para o caso em que V é o conjunto das matrizes reais 2\times 2, em que a soma entre matrizes e a multiplicação por escalares são feitas da forma padrão, entrada a entrada, o subconjunto das matrizes reais do tipo \begin{pmatrix}a & c \\ c & d\end{pmatrix} com ad=0 não forma um subespaço vetorial de V.
Questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Não respondido
Se A, B e C são matrizes n\times n, sendo A e C invertíveis, e 0_{n\times n} representa a matriz n\times n cujas entradas são todas iguais a zero, então a matriz D, 2n\times 2n, definida por D=\begin{bmatrix}A & 0_{n\times n} \\ B & C\end{bmatrix}, é inversível.
Não respondido
A matriz A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 1 & 4 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} é diagonalizável.
Não respondido
Considere uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que transforme o hiperplano A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=1\} na reta B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=1\}. Então qualquer ponto no hiperplano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\} é levado a um ponto na reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=0\}.
Não respondido
O subespaço em \mathbb{R}^3 de dimensão 2 e que contém o conjunto \left\{x\in\mathbb{R}^3:x=t\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}\right\} e o vetor \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} tem como complemento ortogonal o conjunto \left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:-\frac{x_1}{2}+x_2-\frac{5x_3}{2}=0\right\}\cap\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2+x_3=0\right\}.
Não respondido
A função f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=2x_1y_1+4x_1y_2+4x_2y_1+10x_2y_2 satisfaz as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^2.