Questões ANPEC
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Questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
Dada a equação diferencial ordinária (EDO) \ddot{x}-6\dot{x}+9x=0, as funções x_1(t)=-e^{3t} e x_2(t)=2te^{3t} são soluções particulares desta EDO e sua solução geral é dada por x(t)=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}, onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Não respondido
Uma solução particular y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} para a EDO \ddot{x}-4\dot{x}+4x=-\cos(2t) é do tipo y(t)=a\cos(2t), onde a\in\mathbb{R} é uma constante a ser determinada.
Não respondido
As funções x_1(t)=\cos(t) e x_2(t)=-2\operatorname{sen}(t+\pi/2) são soluções particulares para a EDO dada por \ddot{x}+x=0 e sua solução geral x:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz x(t)=c_1\cos(t)+c_2\operatorname{sen}(t+\pi/2), onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Não respondido
O sistema de EDOs \begin{cases}\dot{x}=x+y \\ \dot{y}=x-y\end{cases} tem um único ponto de equilíbrio dado por (0,0) e, para todo par de soluções (x,y), onde x,y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, vale que \lim_{t\to+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).
Não respondido
Dada a equação em diferenças x_{t+2}-x_{t+1}+x_t=0, a única solução tal que existe o limite \lim_{t\to+\infty}x_t satisfaz x_t=0, para todo t\geq 0.
Questão 11
Considere a equação diferencial y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Não respondido
Existe y=y(t) solução não nula tal que y é um polinômio.
Não respondido
Se y=y(t) é uma solução não nula, então \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Não respondido
Se y=y(t) é uma solução não nula, então \lim_{t\to 0}y(t)=0.
Não respondido
Se y=y(t) é solução e satisfaz y(0)=0 e y'(0)=0, então y=y(t) é a função identicamente nula.
Não respondido
Se y=y(t) é solução e satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1, então y(-1)\lt 0.
Questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
As soluções da equação diferencial y=2y' são dadas por funções da forma y(x)=ce^{2x}, em que c é uma constante.
Não respondido
Uma função y:(0,+\infty)tomathbb{R} é solução da equação diferencial y'=y/x-1 se, e somente se, y(x)=x(c-\ln(x)), para alguma constante cinmathbb{R}.
Não respondido
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial xy'-y=0 se, e somente se, y for uma função linear, ou seja, existe kinmathbb{R} tal que y(x)=kx, para todo xinmathbb{R}.
Não respondido
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial y''=\alpha y'+\beta, em que \alpha,betainmathbb{R} com alphaneq 0, se, e somente se, existe uma constante cinmathbb{R} tal que y(x)=-\frac{\beta}{\alpha}x+c.
Não respondido
Dada uma função real y:\mathbb{R}tomathbb{R} que possui derivadas de todas as ordens, denote por y^{(n)}(x) a sua derivada de ordem ngeq 3. Fixado ngeq 3, o conjunto de todas as soluções para y^{(n)}=0 é dado pelo conjunto de todos os polinômios p:\mathbb{R}tomathbb{R} de grau menor ou igual a n.
Questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1 . Julgue as seguintes afirmativas:
Cancelado
A equação característica associada à equação diferencial ordinária tem 3 raízes.
Este item foi marcado como cancelado pela ANPEC.
Não respondido
A solução particular da equação diferencial ordinária é um polinômio de grau 3.
Não respondido
A soma dos coeficientes da solução particular da equação diferencial ordinária é estritamente positiva.
Não respondido
A solução particular da equação diferencial ordinária é y_p=x^3/6-x^2/2.
Não respondido
A solução particular da equação diferencial ordinária restrita aos números reais não negativos atinge seu valor máximo em x=0.
Questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Não respondido
A função x(t)=e^t+1 é uma solução para a equação diferencial x'(t)=x(t)+t em \mathbb{R}.
Não respondido
Sabendo que x_0=4, temos que x_t=\left(\frac{2}{3}\right)^t+3 é solução da equação em diferenças 3x_{t+1}=2x_t+3.
Não respondido
Considere funções de demanda e oferta de um determinado bem dadas, respectivamente, por d(p)=a_0-b_0p e s(p)=a_1+b_1p, em que a_0,b_0,a_1,b_1 são constantes positivas e a_0\gt a_1. Supondo que o preço p=p(t) varie com o tempo de modo que p'(t)=\lambda(d(p)-s(p)), com \lambda\gt 0, tem-se que existe uma constante real C tal que p(t)=Ce^{-\lambda(a_0-a_1)t}+\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Em particular, quando t\to\infty, p(t) converge para o preço de equilíbrio p^e=\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Não respondido
As funções x_1(t)=\sin(t) e x_2(t)=\cos(t) são as únicas soluções para a equação diferencial x''(t)+x(t)=0.
Não respondido
Se a,b\in\mathbb{R} satisfazem a^2=4b, então a solução geral para a equação x''(t)+ax'(t)+bx(t)=0 é x(t)=(A+Bt)e^{-\left(\frac{a}{2}\right)t}, em que A,B\in\mathbb{R} são constantes.