ANPEC 2018 — Matemática – Anpec 2018 — Questão 07

A expansão em Taylor em primeira ordem de M(r)=C(1+r)^n, em torno de r=0, é P_1(r)=C(1+rn). Isto significa que, para taxas de juros suficientemente baixas, é pequena a diferença de considerar r como sendo juros simples ou juros compostos;

Considere r=10\% ao ano como uma taxa de juros compostos com capitalização por segundo, ou seja, considere que M=C\left(1+\frac{r}{365\times 24\times 60}\right)^{365\times 24\times 60}. Neste caso, temos que M\approx Ce^r;

Seja S_n=\sum_{k=1}^{n}ab^k. Temos que S_n=a^n\left(\frac{b^{n+1}-b}{b-1}\right). Além disto, uma das formas para se chegar a esta igualdade é perceber que bS_n-S_n=ab^{n+1}-ab;

Considere um instrumento financeiro que pagará R$ 100,00 por ano para sempre, a partir do próximo ano, ou seja, uma perpetuidade. Se a taxa de juros efetiva é de r=5% ao ano, o preço que pagarei por este fluxo de caixa é \sum_{k=1}^{\infty}\frac{100}{(1+r)^k}=\frac{100}{r}=2000.

Para r>0 e n>1, temos que (1+r)^n>1+rn.