Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Matrizes e determinantes
Transformações lineares, núcleo e imagem
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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0 acertos
0 erros
Fácil · 100%
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
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Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x . Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R} , com x_1\neq x_2 , tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
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Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix} . Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
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Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1) , \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2 .
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Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)) . Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Máximos e mínimos em várias variáveis
Autovalores, autovetores e diagonalização
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Sejam g:\mathbb{R}tomathbb{R} e f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} as funções g(x)=e^{2x} e f(x,y)=g(x)+\ln(g(y)) . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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Não classificada
A função f não possui pontos críticos.
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0 é autovalor da matriz Hessiana H_f(x,y) de f , para todo (x,y) de \mathbb{R}^2 .
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g é decrescente em (-\infty,0) .
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Vale a desigualdade g''(x)\geq \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) se, e somente se, 2x+\ln(2)\geq 0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções homogêneas e Teorema de Euler
Concavidade, convexidade e Hessiana
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2 . Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
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Não classificada
A função \frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R}^2tomathbb{R} é homogênea de grau 4.
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A função f tem mais do que um ponto crítico.
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Existe um ponto de mínimo local para f .
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Existe um ponto de máximo local para f .
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A função f assume um valor mínimo em seu domínio.
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções homogêneas e Teorema de Euler
Para N\geq 1 , denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p , sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x) . Classifique:
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Fácil · 100%
No caso N=1 , a função definida por f(x)=x|x| é um exemplo de função positivamente homogênea de grau 2.
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Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função qualquer, então f(x_1,x_2)=x_2g(x_1/x_2) define uma função positivamente homogênea de grau 1 sobre \mathbb{R}_{++}^2 .
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Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função positivamente homogênea de grau 1 , então a função f:\mathbb{R}_{++}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=x_2g\left(\frac{x_1}{x_2}\right) é côncava.
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Qualquer função g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} positivamente homogênea de grau p satisfaz \lim_{x\to 0^+}g(x)\gt 0 .
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Sejam f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} funções positivamente homogêneas de grau p . Defina, sobre o mesmo domínio, a soma f+g por (f+g)(x)=f(x)+g(x) e o produto fg por (fg)(x)=f(x)g(x) . Portanto, f+g e fg são positivamente homogêneas de grau p .
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Matemática
Integrais impróprias
Funções homogêneas e Teorema de Euler
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
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\lim_{a\to 0}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=+\infty .
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Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função homogênea de grau 1 e f(2)=4 , então \int_0^{\sqrt{3}}f(x)\,dx=1 .
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\int_{-2}^{2}\left[\max\{2x,2x^2\}-x(1+x)-|x-x^2|\right]\,dx=0 .
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\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+e^x},dx=1 .
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Se definimos f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} por f(x)=\int_0^x\left(\int_1^t \frac{1}{u^2}\,du\right)dt , então f'(x)=\ln x^2 .
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Matemática
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Matrizes e determinantes
Máximos e mínimos em várias variáveis
Derivadas e funções deriváveis
Verifique a veracidade das próximas questões, considerando que f(x,y,z)=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 :
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A direção de máximo crescimento de f(x,y,z) em (0,0,1) é (0,0,1) .
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A matriz Hessiana de f é diagonal.
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O ponto (2,2,2) é um máximo global de f(x,y,z) .
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Se \vec{v}=(0,1,0) , então a derivada direcional de f na direção \vec{v} no ponto (3,2,2) é zero.
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Se g(x,y,z,w)=w^2f(x,y,z) , então g é uma função homogênea de grau 2.
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Matemática
Funções homogêneas e Teorema de Euler
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R} , podemos afirmar:
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Se f é diferenciável e homogênea de grau r , então \nabla f tem componentes que são funções homogêneas de grau r-1
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Se existe r\in\mathbb{R} tal que x\cdot\nabla f(x)=rf(x) para todo x\in\mathbb{R}_+^n , então f é homogênea de grau r
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Soma ou diferença de funções homogêneas é uma função homogênea;
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Se f é homogênea de grau r e para w\in\mathbb{R}_{++}^n , isto é, w=(w_1,\ldots,w_n) com w_i\gt 0 , para 1\leq i\leq n , fixo definimos a função de \mathbb{R}_+ em \mathbb{R} : c(q)=\min\{wx\mid f(x)=q\} , então a função c(q) também é homogênea de grau r
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Se f é diferenciável e homogênea de grau r e y=f(x) , então a soma das elasticidades de y em relação a cada um dos x_i , 1\leq i\leq n , é igual a r , onde x=(x_1,\ldots,x_n)
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