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Questão 9
Matemática · Equações em diferenças · Estado estacionário
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t , \forall t\in\mathbb{N} . Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall t\in\mathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Item 0, Não respondido
Existem a,b\in\mathbb{R} tais que a sequência \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}} de termo geral x_t=(at+b)2^t é uma solução desta equação.
Item 1, Não respondido
Se \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}} é uma solução desta equação, então existem \gamma_1,\gamma_2\in\mathbb{R} tais que, para todo t\in\mathbb{N}, x_t=\left(\gamma_1\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\gamma_2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\frac{t-1}{12}\right)2^t.
Item 2, Não respondido
A equação dada tem um único estado estacionário.
Item 3, Não respondido
O conjunto de soluções desta equação a diferenças é um espaço vetorial.
Item 4, Não respondido
Existem soluções \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}}, \mathbf{y}=(y_t)_{t\in\mathbb{N}}, \mathbf{z}=(z_t)_{t\in\mathbb{N}} e \mathbf{w}=(w_t)_{t\in\mathbb{N}} da equação dada tais que a lista formada pelos vetores \mathbf{y}-\mathbf{x}, \mathbf{z}-\mathbf{x} e \mathbf{w}-\mathbf{x} é linearmente independente.
5 itens nesta questão
Abrir questãoQuestão 3
Matemática · Equações diferenciais lineares de 2ª ordem · Sistemas de equações diferenciais · Equações em diferenças
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Item 0, Não respondido
Dada a equação diferencial ordinária (EDO) \ddot{x}-6\dot{x}+9x=0, as funções x_1(t)=-e^{3t} e x_2(t)=2te^{3t} são soluções particulares desta EDO e sua solução geral é dada por x(t)=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}, onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Item 1, Não respondido
Uma solução particular y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} para a EDO \ddot{x}-4\dot{x}+4x=-\cos(2t) é do tipo y(t)=a\cos(2t), onde a\in\mathbb{R} é uma constante a ser determinada.
Item 2, Não respondido
As funções x_1(t)=\cos(t) e x_2(t)=-2\operatorname{sen}(t+\pi/2) são soluções particulares para a EDO dada por \ddot{x}+x=0 e sua solução geral x:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz x(t)=c_1\cos(t)+c_2\operatorname{sen}(t+\pi/2), onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Item 3, Não respondido
O sistema de EDOs \begin{cases}\dot{x}=x+y \\ \dot{y}=x-y\end{cases} tem um único ponto de equilíbrio dado por (0,0) e, para todo par de soluções (x,y), onde x,y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, vale que \lim_{t\to+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).
Item 4, Não respondido
Dada a equação em diferenças x_{t+2}-x_{t+1}+x_t=0, a única solução tal que existe o limite \lim_{t\to+\infty}x_t satisfaz x_t=0, para todo t\geq 0.
5 itens nesta questão
Abrir questãoQuestão 6
Matemática · Equações diferenciais lineares de 1ª e 2ª ordem · Propriedades dos números reais e desigualdades
Considere o seguinte problema: seja y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável tal que, para todo x\in\mathbb{R} , \frac{dy}{dx}+2xy=mx, y(0)=7 , onde m:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função fixada. Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Considere o seguinte problema: seja y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável tal que, para todo x\in\mathbb{R}, \frac{dy}{dx}+2xy=mx, y(0)=7, onde m:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função fixada. Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Item 0, Não respondido
Para m=y a equação é homogênea.
Item 1, Não respondido
Para m=y^2 a equação é ordinária e linear.
Item 2, Não respondido
Para m=0 identicamente nula, a solução é dada por y=7e^{-x^2}.
Item 3, Não respondido
Para m=4 a solução é dada por y=2+5e^{-x^2}.
Item 4, Não respondido
Para m tal que m(x)=e^{-x^2},\ \forall x\in\mathbb{R}, a solução é y=(x+7)e^{-x^2}.
5 itens nesta questão
Abrir questãoQuestão 7
Matemática · Equações em diferenças · Sequências e limites de sequências
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Item 0, Não respondido
Seja (a_n)_{n\in\mathbb{N}} a sequência definida pela relação de recorrência a_1=2 e a_{n+1}=\frac{2}{3}(a_n+6). Então, a_n\to 12.
Item 1, Não respondido
A sequência cujo termo geral é a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+2} é decrescente para n\geq 2.
Item 2, Não respondido
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=2.
Item 3, Não respondido
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})=\sqrt{3}.
Item 4, Não respondido
Se a_n=\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(2n)^2}, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.
5 itens nesta questão
Abrir questãoQuestão 11
Matemática · Equações diferenciais lineares de 2ª ordem
Considere a equação diferencial y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Considere a equação diferencial y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0. Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
Item 0, Não respondido
Existe y=y(t) solução não nula tal que y é um polinômio.
Item 1, Não respondido
Se y=y(t) é uma solução não nula, então \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Item 2, Não respondido
Se y=y(t) é uma solução não nula, então \lim_{t\to 0}y(t)=0.
Item 3, Não respondido
Se y=y(t) é solução e satisfaz y(0)=0 e y'(0)=0, então y=y(t) é a função identicamente nula.
Item 4, Não respondido
Se y=y(t) é solução e satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1, então y(-1)\lt 0.
5 itens nesta questão
Abrir questão
Substituindo x_t=(at+b)2^t na equação, obtém-se x_{t+1}=(a(t+1)+b)2^{t+1} e x_{t+2}=(a(t+2)+b)2^{t+2}. Logo, dividindo por 2^t, a esquerda fica 12at+12(a+b). …
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