Tipo A — V/F
Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição de Bernoulli com parâmetro p=0{,}5 . Definimos, então, Z e W da seguinte maneira: Z=X+Y e W=X-Y . Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
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Prob(Z=1,W=1)=\frac{1}{4} .
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Prob(Z=1\mid W=1)=\frac{1}{2} .
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Lei dos grandes números e convergência em probabilidade
Propriedades dos estimadores
Considere que Y_i, i=1,\ldots,n são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p . Definindo \varepsilon como sendo um número positivo, e k o número de vezes que Y_i é igual a 1 nas n seleções independentes, é correto afirmar:
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Não classificada
\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} .
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Pela Lei dos Grandes Números: \lim_{n\to\infty}\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\lt\varepsilon\right)=1 para todo \varepsilon\gt 0 .
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Suponha que p=0{,}2 . Para que a probabilidade de que \left(\frac{k}{n}-p\right)\lt 0{,}1 seja maior ou igual a 0{,}95 , devemos ter: n\geq \frac{0{,}2\times 0{,}8}{0{,}95\times 0{,}01} .
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Podemos dizer que \frac{k}{n} é um estimador consistente para p .
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Suponha que o valor de p seja desconhecido. Sabemos apenas que 0\lt p\lt 1 . Mesmo nesse caso, podemos dizer que a condição abaixo é satisfeita: \operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2} .
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuição de Poisson
Distribuições Bernoulli e Binomial
Suponha que a variável aleatória X tem Distribuição de Poisson com média \tau , em que \tau&\gt;0 , e que a variável aleatória Y tem Distribuição de Poisson com média \mu , em que \mu&\gt;0 . Considere que X e Y são independentes. Supondo também que k e n são inteiros tais que 0\leq k\leq n , são corretas as afirmativas abaixo:
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Usando o fato de que (\tau+\mu)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mu^{n-k}\tau^k , podemos dizer que, para qualquer n&\gt;0 , Prob(X+Y=n)=\frac{e^{-\tau-\mu}}{n!} .
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Prob[(Y=k)\cap(X+Y=n)]=\frac{e^{-\tau}\tau^k}{k!}\frac{e^{-\mu}\mu^{n-k}}{(n-k)!} .
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Prob(Y=k|X+Y=n)=\frac{n!}{k!}\frac{\tau^kmu^{n-k}}{(\tau+\mu)^n} .
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A distribuição condicional de Y , dado que X+Y=n , é uma binomial com parâmetros n e \tau+\mu .
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Distribuição Normal e Lognormal
Distribuições Qui-quadrado, t e F
Considere as principais distribuições de probabilidade e julgue as afirmativas:
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A distribuição de probabilidade hipergeométrica é um caso particular da distribuição binomial.
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A distribuição t-Student é um caso particular da distribuição Normal.
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Seja X uma variável aleatória com distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, então Y=X^2 segue uma distribuição F(1,n) .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição log-Normal, então Y=\ln(X) segue uma distribuição Normal.
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Se W_1,\ldots,W_n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição Normal, então Y=\sum_{i=1}^n W_i tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Cada uma dessas duas variáveis tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p . Sendo W=\max(X,Y) , julgue:
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A variável W tem distribuição binomial.
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Se p=\frac{1}{2} , então Prob(W=1)>Prob(W=0) .
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Uniforme
Variáveis aleatórias e funções de distribuição
São corretas as afirmativas:
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Se X é uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p , em que n é um inteiro positivo e 0\lt p\lt 1 , então \operatorname{E}(X)=np e \operatorname{Var}(X)=p(1-p) .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se \operatorname{E}(X)=\lambda , então a variância de X é \lambda .
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Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída em [-c,c] , em que c\gt 0 , então \operatorname{E}(X)=0 .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade \operatorname{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p , em que 0\lt p\lt 1 e k=1,2,\ldots . Então \operatorname{E}(X)=kp .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade \operatorname{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p , em que 0\lt p\lt 1 e k=1,2,\ldots . Então a variância de X é \frac{1-p}{p^2} .
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Suponha que as vendas (Q) do produto X são aleatoriamente distribuídas na economia e possuem uma distribuição binomial com parâmetro p (preço), sendo n o número de vendas observado, então:
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A esperança matemática de Q é E(Q) = n(1-p);
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A média das vendas é dada por E(Q) = np;
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A variância das vendas por Q ou V(Q) = np(1-p);
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O preço que maximiza a variância é p = ½;
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O preço está no intervalo 0 e 1.
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