Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Matrizes e determinantes
Transformações lineares, núcleo e imagem
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Fácil · 100%
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
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Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x . Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R} , com x_1\neq x_2 , tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
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Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix} . Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
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Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1) , \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2 .
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Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)) . Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Máximos e mínimos em várias variáveis
Autovalores, autovetores e diagonalização
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Sejam g:\mathbb{R}tomathbb{R} e f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} as funções g(x)=e^{2x} e f(x,y)=g(x)+\ln(g(y)) . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Não classificada
A função f não possui pontos críticos.
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0 é autovalor da matriz Hessiana H_f(x,y) de f , para todo (x,y) de \mathbb{R}^2 .
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g é decrescente em (-\infty,0) .
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Vale a desigualdade g''(x)\geq \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) se, e somente se, 2x+\ln(2)\geq 0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Retas e planos
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2y(x^3+y^3)^{-1} , se (x,y)\neq(0,0) , e f(0,0)=0 é contínua em (0,0) .
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Dada f(x,y)=\ln(e^{x+y}-1) definida sobre todo \mathbb{R}^2 , sua curva de nível zero é uma reta.
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A função g(x,y)=e^{x+y}-1 é convexa em \mathbb{R}_+^2 .
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A direção de crescimento mais rápido da função h(x,y)=y^2e^x , a partir do ponto P=(1,1) , é dada pela direção do vetor v=(1,2) .
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Se F(x,y)=x^3-3xy^2 então \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y)=0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Retas e planos
Curvas de nível
Produto cartesiano e relações
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Considere a função f(x,y)=e^{x/y+1}+\frac{y}{x} , em que x>0 e y>0 . Existem a>0 e b>0 tais que \langle(a,b),\nabla f(a,b)\rangle>0 .
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Dada a função f(x,y)=xe^{x/y} , todo plano tangente ao gráfico de f contém a origem.
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Dada a função f(x,y)=\frac{2yln(1+x)}{y^2+\ln^2(1+x)} , a curva de nível C(1)={(x,y)\in D_f:f(x,y)=1} coincide com o gráfico da função h(x)=\ln(1+x) , x>-1 .
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Dada f:\mathbb{R}^ntomathbb{R} uma função de classe C^1 e um ponto xinmathbb{R}^n tal que o gradiente \nabla f(x) é não nulo, o vetor \nabla f(x) indica a direção de maior crescimento da função f a partir do ponto x .
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Considere a curva derivável \gamma:(a,b)subseteqmathbb{R}tomathbb{R}^2 , \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) , a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} de classe C^1 e f(\gamma(t))=cinmathbb{R} para todo tin(a,b) . Então os vetores \nabla f(\gamma(t)) e (\gamma_1'(t),\gamma_2'(t)) são ortogonais para todo tin(a,b) .
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Tipo A — V/F
Matemática
Limites e continuidade
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Determine se as questões abaixo são verdadeiras ou falsas, considerando que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função de classe C^3 (isto é, existem as derivadas de f até terceira ordem e f''' é contínua):
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Se f'(x^*)=0 e f''(x^*)\lt 0 , então x^* é ponto de máximo global de f ;
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Se a expansão em Taylor em segunda ordem de f(x) em torno de x=2 é P_2(x)\approx 10+2(x-2)^2 , então podemos afirmar que f(x) tem um máximo local em 2 ;
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Assuma que f''(x)\gt 0 para todo x\in\mathbb{R} e que f'(3)=0 . Nestas condições, x=3 é um mínimo global;
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Os pontos de máximo e de mínimo local de f(x)=e^{x^3-x} são, respectivamente, -\frac{1}{\sqrt{3}} e \frac{1}{\sqrt{3}} ;
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Se f'(x^*)=f''(x^*)=0 e f'''(x^*)\lt 0 , então x^* não é máximo nem mínimo local.
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Matemática
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Matrizes e determinantes
Máximos e mínimos em várias variáveis
Derivadas e funções deriváveis
Verifique a veracidade das próximas questões, considerando que f(x,y,z)=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 :
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A direção de máximo crescimento de f(x,y,z) em (0,0,1) é (0,0,1) .
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A matriz Hessiana de f é diagonal.
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O ponto (2,2,2) é um máximo global de f(x,y,z) .
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Se \vec{v}=(0,1,0) , então a derivada direcional de f na direção \vec{v} no ponto (3,2,2) é zero.
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Se g(x,y,z,w)=w^2f(x,y,z) , então g é uma função homogênea de grau 2.
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Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Máximos e mínimos em várias variáveis
Dada a função f(x,y)=x^2\ln y+y^3e^x+3x+2y , quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas?
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No ponto (x,y)=(1,1) , a direção (-3,1) é uma direção de crescimento da função f ;
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No ponto (x,y)=(0,1) , a direção (4,5) é a direção de máximo incremento da função f ;
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A função f tem um máximo relativo interior no seu domínio;
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Ao longo do eixo vertical, quando x=0 , a direção horizontal à direita, ou seja, (1,0) , é a direção de máximo incremento de f ;
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Em todo ponto do domínio a função f é crescente em ambas variáveis.
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Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Curvas de nível
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} , dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y . Julgue as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A taxa de variação de f em (1,0) é máxima na direção do vetor v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ;
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A taxa de variação máxima de f em (1,0) é 2 ;
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\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)-3 , para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 .
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Se x(t)=2t+1 e y(t)=t^3 , então \frac{dz}{dt}=2 , em t=0 , em que z=f(x,y) ;
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Se g(x,y)=xe^{-y} , então os pontos da curva de nível um de g satisfazem à equação y=\ln x .
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