Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Distribuição Normal e Lognormal
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X\sim N(1,1) e Y\sim N(4,2) . Considere que uma amostra aleatória de tamanho n_x tenha sido retirada de X , e uma amostra aleatória de tamanho n_y tenha sido retirada de Y . Definindo \bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i e \bar Y=\frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i , são corretas as afirmati…
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Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5+\bar Y)=Prob(T>1) , onde T=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Definindo a variável Z=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} , podemos dizer que Z tem distribuição normal padrão: Zsim N(0,1) .
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O valor de c tal que Prob(\bar Y>c)=0{,}25 é dado por Prob\left(K \le \frac{c-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}}\right)=0{,}75 , onde K=\frac{\bar Y-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}} .
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Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5-\bar Y)=Prob\left(\theta>\frac{-4}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}}\right) , onde \theta=\frac{(\bar X+\bar Y)-5}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Seja S_x^2 a variância de X para a amostra aleatória de tamanho n_x , ou seja, S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}(X_i-\bar X)^2 . Podemos, então, dizer que Prob(S_x^2>2)=Prob(W>1) para W=(n_x-1)S_x^2 .
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Considere que a distribuição da renda domiciliar do País A seja representada por uma variável aleatória X_A com distribuição lognormal, e que a distribuição da renda domiciliar do País B seja representada por uma variável aleatória X_B , também com distribuição lognormal. Suponha que \ln(X_A)=Y_A , onde Y_A tem média \theta_A e variânc…
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Mesmo que tenhamos \theta_A>\theta_B , não podemos garantir que E(X_A)>E(X_B) .
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Se \theta_A=2\theta_B e \gamma_A^2=\gamma_B^2 , então Var(X_A)=Var(X_B) .
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Suponha que \theta_A=10 e \gamma_A^2=1 . A probabilidade de que um domicílio selecionado aleatoriamente no País A tenha renda domiciliar menor que 100.000 é superior a 0,90.
Item cancelado
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Suponha ainda que \theta_A=10 e \gamma_A^2=1 . Um domicílio selecionado aleatoriamente no País A estará entre os 1% mais ricos desse país se a sua renda x_A for tal que x_A\geq e^{9{,}80} .
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Em ambos os países, os domicílios com renda abaixo de 10.000 recebem um benefício do governo. Se \theta_A=10 , \gamma_A^2=1 , \theta_B=12 e \gamma_B^2=2 , a probabilidade de um domicílio selecionado aleatoriamente no país B receber o benefício é maior que a probabilidade de um domicílio selecionado aleatoriamente no país A receber o benefício.
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Intervalos de confiança
Considere uma variável aleatória X com distribuição normal, média desconhecida igual a \mu , e variância desconhecida igual a \sigma^2 . Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar H_0:\mu=100 contra H_1:muneq 100 . Nessa amostra foi encontrada uma média igual a 110 ( \bar X=110 ) e uma variância igua…
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A probabilidade de erro do tipo I é 0,10.
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A hipótese nula não é rejeitada nesse teste.
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Podemos dizer que o p-valor é maior que 0,10.
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O intervalo de confiança de 90% para \mu é dado por: 110\pm (1,71\times 20) .
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Com os resultados da amostra, a hipótese nula seria rejeitada caso fosse escolhido o nível de significância de 5% para testar H_0:\mu=100 contra H_1:\mu>100 .
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Distribuição Normal e Lognormal
Distribuições Qui-quadrado, t e F
Considere as principais distribuições de probabilidade e julgue as afirmativas:
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A distribuição de probabilidade hipergeométrica é um caso particular da distribuição binomial.
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A distribuição t-Student é um caso particular da distribuição Normal.
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Seja X uma variável aleatória com distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, então Y=X^2 segue uma distribuição F(1,n) .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição log-Normal, então Y=\ln(X) segue uma distribuição Normal.
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Se W_1,\ldots,W_n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição Normal, então Y=\sum_{i=1}^n W_i tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
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Tipo A — V/F
Estatística
Intervalos de confiança
Distribuição Normal e Lognormal
Suponha que os salários em determinada firma tenham distribuição normal, com média \mu e variância conhecida igual a 400. Representando por \bar{X} a média dos salários de uma amostra retirada aleatoriamente dessa população, julgue as afirmativas abaixo. Para a resolução desta questão considere que se Z tem distribuição nor…
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O intervalo de confiança de 95% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 99% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-2{,}575\left(\frac{20}{n}\right),\bar{X}+2{,}575\left(\frac{20}{n}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 80% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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A probabilidade de que o intervalo aleatório \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] inclua \mu é igual a 95%.
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Sendo n=100 e \bar{X}=120 para determinada amostra, podemos dizer que a probabilidade de que o intervalo [120-(2\times2{,}575),120+(2\times2{,}575)] inclua \mu é igual a 99%.
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuição Uniforme
Distribuição Normal e Lognormal
Distribuições Qui-quadrado, t e F
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas que se seguem:
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Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2,5] tem média igual a 3,50.
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Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2,5] tem variância igual a 0,75.
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Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e variância 5, então Z=\frac{X-2}{5} também apresenta distribuição normal, com média 0 e variância 1.
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Sejam Z_1 e Z_2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, então W=\frac{Z_1}{Z_2} apresenta distribuição F .
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Seja uma variável aleatória X , com distribuição t-Student com 2 graus de liberdade. Então sua variância não será definida.
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Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Uma empresa produz computadores de dois tipos, tipo A, mais barato, e tipo B, mais caro, e garante a devolução do valor pago se qualquer computador apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos computadores tem distribuição normal, sendo que, no tipo A, com média de…
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A probabilidade de restituição do computador do tipo A é maior que 3%.
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A probabilidade de restituição do computador do tipo B é menor que 5%.
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O lucro esperado do computador tipo A é inferior a R$ 1.800,00.
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O lucro esperado do computador tipo B é menor que R$ 1.700,00.
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Baseando-se no lucro esperado, a empresa deveria incentivar as vendas do computador tipo B.
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Tipo A — V/F
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Distribuição Normal e Lognormal
Considere o seguinte processo: Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t , em que 0\lt\beta_1\lt 1 e u_t é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo, com distribuição normal, com média igual a zero e variância igual a \sigma^2 .
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Não classificada
Y_t=\beta_1^tY_0+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_1^iu_{t-i} .
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Podemos dizer que Y_t tem distribuição normal.
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A variância de Y_t é cada vez menor à medida que t aumenta.
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A variância de Y_t é igual a \frac{\sigma^2}{1-\beta_1^2} .
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Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Distribuição Normal e Lognormal
Propriedades dos estimadores
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal (\mu,\sigma^2) , em que \mu e \sigma^2 são desconhecidos e \sigma^2\gt 0 . Podemos definir também \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i e S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 . Podemos afirmar:
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S^2 é um estimador não tendencioso de \sigma^2 .
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A variância de \bar{X} é igual a \frac{\sigma^2}{n} .
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S^2 é um estimador não tendencioso para a variância de \bar{X} .
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S^2 é um estimador consistente de \sigma^2 .
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\bar{X} é um estimador consistente de \mu .
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Distribuição Normal e Lognormal
Considere os modelos lineares y_t=\beta_1x_t+u_{1t} e x_t=\alpha_1x_{t-1}+\alpha_2y_{t-1}+u_{2t} , em que u_{1t} e u_{2t} possuem distribuição normal bivariada, variância \operatorname{Var}(u_{1t})=\sigma_{11}^2 , variância de u_{2t} igual a \sigma_{22}^2 e covariância \operatorname{Cov}(u_{1t},u_{2t})=\sigma_{12}^2 . A avaliação da exogeneidade das variáveis depende dos seguintes resultados:
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Se \sigma_{12}^2=0 , então x_t é fracamente exógeno porque a distribuição marginal de x_t não envolve \beta_1 ou \sigma_{11} ;
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A segunda equação demonstra que x_t depende de y_{t-1} , portanto y_t precede x_t ;
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Assumindo que ambas as equações sejam verdadeiras, a variável x_t não pode ser fortemente exógena;
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Se \alpha_2=0 , então x_t é fortemente exógena;
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Se x_t for considerada fracamente exógena e não for causada no sentido de Granger por y_t , então x_t não é exógena.
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