Questão 03 — Matemática · ANPEC 2018
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Enunciado da questão
Considere \vec{x}, \vec{v} e \vec{w} como vetores em \mathbb{R}^3 e s,t\in\mathbb{R}. Verifique a veracidade das afirmações abaixo, em que o produto interno é denotado por “\cdot” e o produto vetorial por “\times”:
Item 0
O conjunto A=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3:\vec{x}\cdot\vec{v}=10\} é um plano perpendicular ao vetor \vec{v};
Item 1
A reta definida por \vec{x}(t)=t\vec{v} e o plano \vec{x}(s,t)=s\vec{v}+t\vec{w} nunca se encontram;
Item 2
Dados os vetores \vec{v} e \vec{w}, o plano definido pela equação paramétrica \vec{x}(s,t)=s\vec{v}+t\vec{w} coincide com o plano definido pela equação \vec{x}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=2;
Item 3
Seja \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}. Então, se \vec{u} e \vec{v} são perpendiculares, temos que \|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2;
Item 4
Sejam \vec{p}, \vec{q} e \vec{r} pontos no espaço que definem um triângulo A e sejam t_1,t_2,t_3\in\mathbb{R}. Se t_1+t_2+t_3=1, então o ponto \vec{x}=t_1\vec{p}+t_2\vec{q}+t_3\vec{r} encontra-se no plano definido pelo triângulo A.