Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Produto cartesiano e relações
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
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Não classificada
A equação f(x,y)=c admite pelo menos uma solução (x_c,y_c)\in\mathbb{R}^2 para todo c\in\mathbb{R} .
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Se f(a,b)\lt 0 e f(c,d)\lt 0 , então f\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\lt 0 .
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A origem é o único ponto crítico de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e é classificada como um ponto de sela.
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A origem é ponto de mínimo local de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_h\subseteq\mathbb{R}^2 , onde G_h é o gráfico de h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que h(x)=ax , com a\neq 0 arbitrário.
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A origem é ponto de máximo global de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_g\subseteq\mathbb{R}^2 , onde G_g é o gráfico de g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que g(x)=ax^2 , com a\gt 1 e a\neq 3 uma constante arbitrária.
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Tipo A — V/F
Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N} , P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N} , denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X , ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X} . Dado um conjunto finito X , seja card(X) o número de elementos de X . Por fim,…
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Fácil · 100%
P_5 \subseteq P_4 \cup {5} .
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Se A,B,C \in \mathcal{S}(P_3) satisfazem as condições card(A triangle B)=1 e card(B triangle C)=1 , então card(A triangle C)=1 .
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Existe função sobrejetora de P_{2025} para P_{2024} .
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Para todo n \in \mathbb{N} , é verdade que P_n triangle P_1 \in \mathcal{S}(P_{n+1}) .
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A função F: \mathbb{N} \to \mathcal{S}(\mathbb{N}) definida pela regra F(n)=P_{n+1} é injetora.
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Tipo A — V/F
Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Produto cartesiano e relações
Sejam A={0,1,2,3,4,5} , B={2,0,2,4} e C={e,\pi} . Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Existe função injetora de Bcup C para A , mas não de A para Bcup C .
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Acap (Bcup C)={{0},{2},{4}} .
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Não existe o conjunto ((Acap B)\cap C)\times C .
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(3,0)\in A\times B , mas (3,2)\notin A\times B .
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Matemática
Retas e planos
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Distâncias, ângulos e geometria plana
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
No \mathbb{R}^3 , o plano que passa pelo ponto (2,1,2) e que é paralelo ao plano \{x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1-2x_2+6x_3=1\} é o conjunto \{(12+2t-6s,t,s):t,s\in\mathbb{R}\} .
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Sejam os planos no \mathbb{R}^3 dados por \pi_1=\{x\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2-3x_3=0\} , \pi_2=\{x\in\mathbb{R}^3:2x_1-x_2+x_3=0\} , \pi_3=\{x\in\mathbb{R}^3:3x_1-2x_3=0\} e \pi_4=\{x\in\mathbb{R}^3:7x_1-2x_2=0\} . Então \pi_1\cap\pi_2=\pi_3\cap\pi_4 .
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Sejam os vetores x , y e z no \mathbb{R}^3 expressos por x=(4,3,-1) , y=(3,-2,12) e z=(7,3,3) . Se V denota o subespaço do \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores x e y , então z\in V .
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Se d(x,y) é a distância euclidiana entre x,y\in\mathbb{R}^2 e o=(0,0)\in\mathbb{R}^2 é a origem, então d(x,o)+d(y,o)\geq d(x,y) , para todo x,y\in\mathbb{R}^2 .
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Seguindo a mesma notação do item anterior, não existem vetores não nulos x,y\in\mathbb{R}^2\setminus\{o\} tais que d(x,y)=d(x+y,o) .
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Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Produto cartesiano e relações
Relações de pertinência e inclusão
Sejam a=\frac{1}{2} , b=\frac{3}{4} e A,B\subseteq\mathbb{R} intervalos da reta definidos por A=[a,\infty) e B=[b,\infty) . Denote por \Gamma_f e \Gamma_g os gráficos das funções f:A\to B e g:B\to A dadas por f(x)=(x-a)^2+b,\ \forall x\geq a e g(x)=a+\sqrt{x-b},\ \forall x\geq b . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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A\cap B=B e A\setminus B=[a,b] .
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f:A\to B é a função inversa de g:B\to A .
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\Gamma_f\cap\Gamma_g\subseteq \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=x\} .
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f:A\to B é sobrejetora e g:B\to A é injetora.
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Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Limites e continuidade
Derivadas e funções deriváveis
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Sejam f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R} definidas por f(x)=(x-1)^5 e g(x)=\frac{|x|}{1+x} . Julgue as afirmativas:
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(g\circ g)\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2} .
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\lim_{x\to-\infty}g(x)=-1 .
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1 é ponto de inflexão de f .
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\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x)\,dx=0 .
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É nula a soma de todos os coeficientes da série de Taylor de f em torno do ponto zero.
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Retas e planos
Operações entre conjuntos e cardinalidade
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A equação da reta que passa pelos pontos (-1,2) e (1,1) é 2y-x=5 .
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A interseção do plano 2z-x-y=5 com o plano 2z+x+y=3 é uma reta em \mathbb{R}^3 .
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Sejam P_1 e P_2 os pontos obtidos pela interseção da reta 2x-3y-12=0 com os eixos coordenados. A área do triângulo formado pela origem, P_1 e P_2 é igual a 12.
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O ponto (1,1) pertence à reta que passa por (2,1) e é perpendicular à reta 2x+3y+4=0 .
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Se r_1 e r_2 são duas retas no plano \mathbb{R}^2 então r_1\cap r_2\neq \varnothing .
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Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R} , denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A . Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
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Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} , se B\subseteq A , então \operatorname{card}(B)\leq \operatorname{card}(A) .
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Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} , se \operatorname{card}(B)\leq \operatorname{card}(A) , então B\subseteq A .
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Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} tais que B\subseteq A . Tomando C=A\setminus B=\{a\in\mathbb{R}:a\in A\ \text{e}\ a\notin B\} e sendo P(C) o conjunto das partes de C , então vale a igualdade \operatorname{card}(P(C))=\frac{2^{\operatorname{card}(A)}}{2^{\operatorname{card}(B)}} .
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Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} e uma função f:A\to B , se \operatorname{card}(A)\gt\operatorname{card}(B) , então f não é injetora.
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Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} tais que \operatorname{card}(A)\lt \operatorname{card}(B) , é possível encontrar uma função sobrejetora f:A\to B .
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Tipo A — V/F
Matemática
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Produto cartesiano e relações
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0} . Seja y=(1/3,1/6,1/2) . Julgue as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Os subconjuntos A e B de \mathbb{R}^3 são exemplos de subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3 .
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Se os conjuntos C,Dsubseteqmathbb{R}^3 são definidos por C={x-yinmathbb{R}^3:xin A} e D={x-yinmathbb{R}^3:xin B} , então C é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 , mas D não é.
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A função f:\mathbb{R}^3tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_3 não atinge um ponto de máximo em A , mas atinge um ponto de máximo em B .
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Seja z=(z_1,z_2,z_3)inmathbb{R}^3 satisfazendo z_1+z_2+z_3=0 , e tome \alpha=\min{1/(3+3|z_1|),1/(6+6|z_2|),1/(2+2|z_3|)} . Então, para todo varepsilonin(0,\alpha) , o vetor y+\varepsilon z pertence a B .
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A projeção ortogonal do vetor y sobre o complemento ortogonal do subespaço vetorial gerado pelo vetor (1,0,-1) é um elemento do conjunto B .
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Tipo A — V/F
Matemática
Relações de pertinência e inclusão
Produto cartesiano e relações
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Se n\gt m , então A_n\subseteq A_m .
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O produto cartesiano A_2\times A_3 é igual ao conjunto \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\} .
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Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^* , é verdade que para todo n\in\mathbb{N}^* , B_n\cap A_{2n} tem n elementos.
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Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^* , existe um número inteiro positivo m\in\mathbb{N}^* tal que m\in B_n para todo n\in\mathbb{N}^* .
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Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^* , (A_1\cup B_3)^c\cap\mathbb{N}^*=\{2,3\} e (B_1\cap A_3)^c\cap\mathbb{N}^*=\{n\in\mathbb{N}^*:n\geq 4\} .
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