Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Matrizes e determinantes
Transformações lineares, núcleo e imagem
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Fácil · 100%
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
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Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x . Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R} , com x_1\neq x_2 , tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
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Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix} . Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
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Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1) , \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2 .
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Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)) . Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Matrizes e determinantes
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b , x_1\geq 0 e x_2\geq 0 . Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
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Não classificada
A matriz Hessiana da função f em qualquer ponto xinmathbb{R}^2 é negativa definida.
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Quaisquer que sejam os valores de a e b , se o gradiente \nabla f(x_1^*,x_2^*)=(0,0) , então (x_1^*,x_2^*) resolve o problema P.
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Quando a=b=0 , o problema P não tem solução.
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Quando a>0 e b=0 , qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P satisfaz x_2^*=2x_1^* .
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Quando a=b=1 , em qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P, o gradiente satisfaz \nabla f(x_1^*,x_2^*)\neq (0,0) .
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Matemática
Matrizes e determinantes
Autovalores, autovetores e diagonalização
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
A ser inversível implica que A^{2024} também é inversível.
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A ser simétrica implica que A^{2024} também é simétrica.
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A ser triangular superior implica que A^{2024} também é triangular superior.
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A ser diagonalizável implica que A^{2024} também é diagonalizável.
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A ser negativa semidefinida implica que A^{2024} também é negativa semidefinida.
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Tipo A — V/F
Matemática
Matrizes e determinantes
Funções implícitas e Teorema do Envelope
Produto interno, ortogonalidade e projeções
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
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Não classificada
Seja f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R} uma função diferenciável. Suponha que \bar{x}\in\mathbb{R}^N não é um ponto crítico da função f . Se A=\begin{pmatrix}\frac{\partial f(\bar{x})}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\bar{x})}{\partial x_N}\end{pmatrix} e A^T denota a transposta de A , então a matriz AA^T tem posto 1 .
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A equação (x-2)^3+x(y-1)^2-\ln y=1 define implicitamente y como função de x em uma vizinhança do ponto (3,1)\in\mathbb{R}^2 , e denotamos para expressar isso y=h(x) . Esta função satisfaz \frac{dh}{dx}(3)=\frac{1}{2} .
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Considerando a função f:\mathbb{R}\times[0,1)\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(x^2+y^2)(ye^{|x|}-1) , para cada x\in\mathbb{R} existe um único y=h(x)\in[0,1) tal que f(x,h(x))=0 , o que define uma função contínua h:\mathbb{R}\to[0,1) .
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Seja f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} continuamente diferenciável, e g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por g(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)+\cos(x_1x_2) . Denotamos por \langle z,w\rangle o produto interno padrão no \mathbb{R}^2 , e por \nabla f(x) e \nabla g(x) os gradientes das duas funções. Então \langle \nabla f(x)-\nabla g(x),\nabla f(x)-\nabla g(x)\rangle\leq 1 para todo x\in\mathbb{R}^2 cuja distância euclidiana ao ponto (0,0) é 1 .
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A matriz Hessiana associada à função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=2x_1-2x_1x_2-4x_2^2 é semidefinida positiva em qualquer ponto do domínio, e logo a função f é convexa.
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Matemática
Matrizes e determinantes
Autovalores, autovetores e diagonalização
Transformações lineares, núcleo e imagem
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Muito difícil · 0%
Se A , B e C são matrizes n\times n , sendo A e C invertíveis, e 0_{n\times n} representa a matriz n\times n cujas entradas são todas iguais a zero, então a matriz D , 2n\times 2n , definida por D=\begin{bmatrix}A & 0_{n\times n} \\ B & C\end{bmatrix} , é inversível.
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A matriz A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 1 & 4 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} é diagonalizável.
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Considere uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que transforme o hiperplano A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=1\} na reta B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=1\} . Então qualquer ponto no hiperplano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\} é levado a um ponto na reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=0\} .
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O subespaço em \mathbb{R}^3 de dimensão 2 e que contém o conjunto \left\{x\in\mathbb{R}^3:x=t\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}\right\} e o vetor \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} tem como complemento ortogonal o conjunto \left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:-\frac{x_1}{2}+x_2-\frac{5x_3}{2}=0\right\}\cap\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2+x_3=0\right\} .
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A função f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=2x_1y_1+4x_1y_2+4x_2y_1+10x_2y_2 satisfaz as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^2 .
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Matemática
Matrizes e determinantes
Autovalores, autovetores e diagonalização
Dado um número real r\in\mathbb{R} , considere as matrizes A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix} .
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A equação característica de A_r é (1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-3(1+r))=0 .
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Todos os autovalores associados à matriz A_r são números reais se, e somente se, r=3 .
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Os autovalores da matriz A_3 são -4 , 1 e 3 .
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As colunas da matriz B são autovetores da matriz A_3 .
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O produto das matrizes B^tA_3B é igual à matriz \begin{pmatrix}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} .
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Matrizes e determinantes
Considere a função f:\mathbb{R}^4tomathbb{R} , definida por f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-(x_1)^2+\sum_{k=1}^{4}(-x_k)^k , e verifique a veracidade das seguintes afirmações:
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Seja \mathbf{x}^*=(x_1^*,x_2^*,x_3^*,x_4^*) um ponto no \mathbb{R}^4 . Para que \mathbf{x}^*inmathbb{R}^4 seja um ponto crítico é necessário que -2x_1^*-1=2x_2^*=-3(x_3^*)^2=4(x_4^*)^3=0 .
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A matriz Hessiana H de f no ponto \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) é \begin{pmatrix}-2&0&0&0\0&2&0&0\0&0&-3x_3&0\0&0&0&4x_4\end{pmatrix} .
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A matriz Hessiana H de f é indefinida em \mathbb{R}^4 .
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f possui um máximo local em \mathbf{x}^*=(1,0,0,0) .
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O determinante da matriz Hessiana de f é positivo para todo \mathbf{x}inmathbb{R}^4 , isto é, \det H_f(\mathbf{x})>0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Sistemas lineares
Matrizes e determinantes
Funções implícitas e Teorema do Envelope
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Considere o sistema de equações lineares \begin{cases}5x+2y=0\3x+10y=22\end{cases} . Como solução deste sistema, temos que x=-1 e que y é positivo.
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Sejam as matrizes A=\begin{pmatrix}1&2\2&4\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix} , e seja x=(x_1,x_2)^T uma matriz coluna. Neste caso, temos que a equação (AB)x=(2,2)^T tem infinitas soluções.
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Considere as equações \sum_{k=1}^{2}kx_k^2=1 e \sum_{k=1}^{2}k^2x_k=2 . Então, x_1=x_2=1 é solução do sistema formado por estas equações.
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Considere a matriz A 4×4, a matriz coluna x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T e a equação Ax=b . Considere que A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&6&7\0&1&3&3\1&1&6&5\0&0&5&2\end{pmatrix} e b=(1,2,0,0)^T . Então, a solução será x=(1,2,3,0) .
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Se uma matriz tem inversa, então ela é singular.
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Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Matrizes e determinantes
Máximos e mínimos em várias variáveis
Derivadas e funções deriváveis
Verifique a veracidade das próximas questões, considerando que f(x,y,z)=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 :
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A direção de máximo crescimento de f(x,y,z) em (0,0,1) é (0,0,1) .
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A matriz Hessiana de f é diagonal.
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O ponto (2,2,2) é um máximo global de f(x,y,z) .
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Se \vec{v}=(0,1,0) , então a derivada direcional de f na direção \vec{v} no ponto (3,2,2) é zero.
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Se g(x,y,z,w)=w^2f(x,y,z) , então g é uma função homogênea de grau 2.
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Matemática
Matrizes e determinantes
Uma matriz Minmathbb{R}^{ntimes n} é chamada idempotente se M^2=M . Uma matriz Ninmathbb{R}^{ntimes n} é chamada nilpotente se existe um número inteiro positivo k tal que N^k=0 (matriz com todas as entradas nulas). Classifique as seguintes afirmações segundo a sua veracidade:
0 /5 itens V/F respondidos
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Não classificada
O determinante de uma matriz nilpotente é zero;
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Se Minmathbb{R}^{ntimes n} é nilpotente, então existe um número inteiro r tal que (I-M)^{-1}=I+M+\cdots+M^r ;
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A soma de matrizes nilpotentes é uma matriz nilpotente;
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O determinante de uma matriz idempotente é sempre 1;
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A matriz Minmathbb{R}^{ntimes n} é idempotente se, e somente se, (I-M) é idempotente.
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