Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Produto cartesiano e relações
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A equação f(x,y)=c admite pelo menos uma solução (x_c,y_c)\in\mathbb{R}^2 para todo c\in\mathbb{R} .
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Se f(a,b)\lt 0 e f(c,d)\lt 0 , então f\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\lt 0 .
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A origem é o único ponto crítico de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e é classificada como um ponto de sela.
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A origem é ponto de mínimo local de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_h\subseteq\mathbb{R}^2 , onde G_h é o gráfico de h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que h(x)=ax , com a\neq 0 arbitrário.
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A origem é ponto de máximo global de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_g\subseteq\mathbb{R}^2 , onde G_g é o gráfico de g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que g(x)=ax^2 , com a\gt 1 e a\neq 3 uma constante arbitrária.
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Tipo A — V/F
Matemática
Sequências e limites de sequências
Concavidade, convexidade e Hessiana
Convergência de séries
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
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Fácil · 100%
O limite \lim_{nto +\infty}\left(\frac{n+2\ln 3+\ln 5}{n}\right)^{2n} existe e é maior do que 2025.
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Se (x_n) e (y_n) são sequências de números reais tais que \lim_{ntoinfty}\frac{x_n+y_n}{2}=1 , então \lim_{ntoinfty}x_n=\lim_{ntoinfty}y_n=1 .
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\lim_{n\to\infty}\frac{100n+1000}{n^2(1+\sqrt{n})}=0 .
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Seja f:[0,+\infty)tomathbb{R} uma função definida por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2+x}{(2+x)^n} para todo xgeq 0 , então f'(x)f''(x)>0 para todo x>0 .
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A série \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-3)^{3n}}{(n+3)^3} converge.
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Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Matrizes e determinantes
Transformações lineares, núcleo e imagem
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Fácil · 100%
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
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Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x . Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R} , com x_1\neq x_2 , tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
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Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix} . Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
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Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1) , \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2 .
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Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)) . Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Dados \alpha,betainmathbb{R} , considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta . Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
Se \alpha=1/3 e \beta=1/3 , então f é côncava.
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Se \alpha=1/3 e \beta=2/3 , então f é convexa.
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Se \alpha=1/3 e \beta=1 , então f é convexa.
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Se \alpha=0 e \beta=2 , então f é côncava.
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Se \alpha=2 e \beta=-1 , então f é convexa.
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Matemática
Transformações lineares, núcleo e imagem
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Otimização condicionada com restrição de igualdade
Autovalores, autovetores e diagonalização
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Fácil · 100%
Seja A uma matriz quadrada e A^t a sua transposta. Se B=A+A^t e A é simétrica, então as matrizes A e B têm o mesmo núcleo.
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Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo dos reais e U um subespaço vetorial de V . Suponha que U tem dimensão N \ge 1 e que o vetor x \in V satisfaz x \notin U . Nesse caso, vale que o conjunto W={u+tx: u \in U, t \in \mathbb{R}} é um subespaço vetorial de V e W tem dimensão N+1 .
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Seja L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m uma transformação linear tal que para qualquer x \in \mathbb{R}^n vale que L(x)=(y_1,\ldots,y_m) \in \mathbb{R}^m satisfaz y_i \ge 0 para todo i=1,\ldots,m . Nesse caso, a matriz que representa L é a matriz nula.
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Seja o conjunto X no \mathbb{R}^3 definido por X={(10/3,-8/3,0)+t(1,7,3): t \in \mathbb{R}} . Se x^* \in \mathbb{R}^3 minimiza a função f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 sujeito às restrições 2x_1+x_2-3x_3=4 e x_1-x_2+2x_3=6 , então x^* \notin X .
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Considere H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por H(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,4x_1+x_2,0) . Então H é uma transformação linear que é diagonalizável e dois de seus autovalores também são autovalores da matriz \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{bmatrix} .
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Matemática
Matrizes e determinantes
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b , x_1\geq 0 e x_2\geq 0 . Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
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A matriz Hessiana da função f em qualquer ponto xinmathbb{R}^2 é negativa definida.
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Quaisquer que sejam os valores de a e b , se o gradiente \nabla f(x_1^*,x_2^*)=(0,0) , então (x_1^*,x_2^*) resolve o problema P.
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Quando a=b=0 , o problema P não tem solução.
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Quando a>0 e b=0 , qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P satisfaz x_2^*=2x_1^* .
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Quando a=b=1 , em qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P, o gradiente satisfaz \nabla f(x_1^*,x_2^*)\neq (0,0) .
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Matemática
Limites e continuidade
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas e funções deriváveis
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Fixado um número real \alpha\in(0,1) , defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0 . Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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A função f não é derivável no ponto x=0 , mas existe o \lim_{xto 0}f(x) , sendo que este é igual a zero.
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Quando x_1\lt x_2\lt 1 , teremos f(x_1)\lt f(x_2) , enquanto que, quando se tem a desigualdade x_4\gt x_3\gt 1 , vale que f(x_3)\gt f(x_4) .
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A desigualdade f''(x)\gt 0 vale para todo x\gt 0 .
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Quando \alpha=\frac{1}{2} , o problema de minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} não admite solução, enquanto que o problema de maximizar f(x) em x\in\mathbb{R} tem x=1 como única solução.
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A integral \int_0^{+\infty} f(x),dx não converge.
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções implícitas e Teorema do Envelope
Limites e continuidade
Máximos e mínimos em várias variáveis
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A equação 2y-\frac{y^2}{2}+x^2-x-\frac{3}{2}=0 define implicitamente y como função de x , denotada por y=f(x) , em uma vizinhança do ponto (x_0,y_0)=(0,1) , valendo que f^\prime(0)=1 .
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Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função continuamente diferenciável e sua derivada f':\mathbb{R}\to\mathbb{R} é tal que f'(-x)=-f'(x) para todo x\in\mathbb{R} , então f(1)=f(-1) .
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O valor de a\in\mathbb{R} que minimiza \int_0^a x^2\,dx é a=0 .
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\int_0^1 x^5 e^{x^2},dx=\frac{e-2}{4} .
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\int_{-1}^{2}\left(\int_0^1 |x-y|\,dx\right)\,dy=0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Máximos e mínimos em várias variáveis
Autovalores, autovetores e diagonalização
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Sejam g:\mathbb{R}tomathbb{R} e f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} as funções g(x)=e^{2x} e f(x,y)=g(x)+\ln(g(y)) . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Não classificada
A função f não possui pontos críticos.
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0 é autovalor da matriz Hessiana H_f(x,y) de f , para todo (x,y) de \mathbb{R}^2 .
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g é decrescente em (-\infty,0) .
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Vale a desigualdade g''(x)\geq \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) se, e somente se, 2x+\ln(2)\geq 0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Otimização condicionada com restrição de igualdade
Considere as funções F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definidas por F(x,y)=x^2-y^2+2 e G(x,y)=3xy . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Não classificada
A função F restrita ao conjunto C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=y\} é constante.
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(0,0) é ponto de mínimo de F sujeita à restrição G(x,y)=0 .
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A curva de nível 3 de G e a curva de nível 2 de F se interceptam em 2 pontos.
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Definindo f(x)=F(x,1) para todo x\in\mathbb{R} , vale que f tem mínimo absoluto em \mathbb{R} .
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A função G atinge máximo na restrição F(x,y)=0 .
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