Tipo A — V/F
Matemática
Distâncias, ângulos e geometria plana
Retas e planos
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2) , B=(4,0) e C=(-1,5) . Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
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A reta {(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x-2,y+1)\cdot(2,1)=0} é a mediatriz do lado \overline{AB} de \Delta .
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Se M é o baricentro de \Delta e D=A-M , então D e (1,3) são linearmente dependentes.
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O ângulo interno de \Delta em C mede \arccos(4/5) radianos.
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Tipo A — V/F
Matemática
Retas e planos
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Distâncias, ângulos e geometria plana
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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No \mathbb{R}^3 , o plano que passa pelo ponto (2,1,2) e que é paralelo ao plano \{x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1-2x_2+6x_3=1\} é o conjunto \{(12+2t-6s,t,s):t,s\in\mathbb{R}\} .
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Sejam os planos no \mathbb{R}^3 dados por \pi_1=\{x\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2-3x_3=0\} , \pi_2=\{x\in\mathbb{R}^3:2x_1-x_2+x_3=0\} , \pi_3=\{x\in\mathbb{R}^3:3x_1-2x_3=0\} e \pi_4=\{x\in\mathbb{R}^3:7x_1-2x_2=0\} . Então \pi_1\cap\pi_2=\pi_3\cap\pi_4 .
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Sejam os vetores x , y e z no \mathbb{R}^3 expressos por x=(4,3,-1) , y=(3,-2,12) e z=(7,3,3) . Se V denota o subespaço do \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores x e y , então z\in V .
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Se d(x,y) é a distância euclidiana entre x,y\in\mathbb{R}^2 e o=(0,0)\in\mathbb{R}^2 é a origem, então d(x,o)+d(y,o)\geq d(x,y) , para todo x,y\in\mathbb{R}^2 .
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Seguindo a mesma notação do item anterior, não existem vetores não nulos x,y\in\mathbb{R}^2\setminus\{o\} tais que d(x,y)=d(x+y,o) .
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Matemática
Retas e planos
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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A equação da reta que passa pelos pontos (-1,2) e (1,1) é 2y-x=5 .
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A interseção do plano 2z-x-y=5 com o plano 2z+x+y=3 é uma reta em \mathbb{R}^3 .
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Sejam P_1 e P_2 os pontos obtidos pela interseção da reta 2x-3y-12=0 com os eixos coordenados. A área do triângulo formado pela origem, P_1 e P_2 é igual a 12.
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O ponto (1,1) pertence à reta que passa por (2,1) e é perpendicular à reta 2x+3y+4=0 .
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Se r_1 e r_2 são duas retas no plano \mathbb{R}^2 então r_1\cap r_2\neq \varnothing .
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Retas e planos
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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Não classificada
A função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2y(x^3+y^3)^{-1} , se (x,y)\neq(0,0) , e f(0,0)=0 é contínua em (0,0) .
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Dada f(x,y)=\ln(e^{x+y}-1) definida sobre todo \mathbb{R}^2 , sua curva de nível zero é uma reta.
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A função g(x,y)=e^{x+y}-1 é convexa em \mathbb{R}_+^2 .
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A direção de crescimento mais rápido da função h(x,y)=y^2e^x , a partir do ponto P=(1,1) , é dada pela direção do vetor v=(1,2) .
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Se F(x,y)=x^3-3xy^2 então \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y)=0 .
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Matemática
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Retas e planos
Curvas de nível
Produto cartesiano e relações
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
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Não classificada
Considere a função f(x,y)=e^{x/y+1}+\frac{y}{x} , em que x>0 e y>0 . Existem a>0 e b>0 tais que \langle(a,b),\nabla f(a,b)\rangle>0 .
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Dada a função f(x,y)=xe^{x/y} , todo plano tangente ao gráfico de f contém a origem.
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Dada a função f(x,y)=\frac{2yln(1+x)}{y^2+\ln^2(1+x)} , a curva de nível C(1)={(x,y)\in D_f:f(x,y)=1} coincide com o gráfico da função h(x)=\ln(1+x) , x>-1 .
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Dada f:\mathbb{R}^ntomathbb{R} uma função de classe C^1 e um ponto xinmathbb{R}^n tal que o gradiente \nabla f(x) é não nulo, o vetor \nabla f(x) indica a direção de maior crescimento da função f a partir do ponto x .
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Considere a curva derivável \gamma:(a,b)subseteqmathbb{R}tomathbb{R}^2 , \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) , a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} de classe C^1 e f(\gamma(t))=cinmathbb{R} para todo tin(a,b) . Então os vetores \nabla f(\gamma(t)) e (\gamma_1'(t),\gamma_2'(t)) são ortogonais para todo tin(a,b) .
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Matemática
Retas e planos
Sejam P e Q dois planos cujas equações cartesianas são x+2y-3z=1 e 2x-y+2z=3 , respectivamente. Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
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A equação vetorial da reta ortogonal ao plano P , que passa pelo ponto (-2,0,z_0)\in P , é (x,y,z)=(-2,0,1)+t(1,2,-3) , para todo t real.
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A equação paramétrica da reta ortogonal ao plano Q , que passa pelo ponto (1,y_0,2)\in Q , é x=1+t , y=3+2t , z=3-2t , para todo t real.
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Um vetor ortogonal ao plano gerado pelas retas ortogonais aos planos P e Q é (1,-8,-5) .
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Sejam L_P a reta ortogonal a P passando pelo ponto (-2,0,z_0)\in P e L_Q a reta ortogonal a Q passando pelo ponto (1,y_0,2)\in Q . L_P e L_Q têm um ponto em comum.
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A equação cartesiana do plano gerado pelas retas L_P e L_Q do item 3 e que contém o ponto (1,1,1) é x-8y-5z+12=0 .
(Item 3: Sejam L_P a reta ortogonal a P passando pelo ponto (-2,0,z_0)\in P e L_Q a reta ortogonal a Q passando pelo ponto (1,y_0,2)\in Q . L_P e L_Q têm um ponto em comum.)
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Matemática
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Retas e planos
Considere o problema do investidor que pode investir os pesos w_1 e w_2 de sua riqueza em dois instrumentos financeiros arriscados. Suas preferências implicam que ele quer maximizar a função U(w_1,w_2)=1,15w_1+1,2w_2-0,5(0,04w_1^2+0,09w_2^2) , sujeita às restrições w_1+w_2=1 , w_1\geq0 e w_2\geq0 . Indique abaixo os itens verdadeiros e os falsos:
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Difícil · 40%
A função U é homogênea de grau 1.
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O gradiente de U é \left(\frac{115}{100}-\frac{4}{100}w_1,\frac{12}{10}-\frac{9}{100}w_2\right) .
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Seja (w_1^*,w_2^*) a solução do problema de maximização com restrições acima. Se w_1^*>0 e w_2^*>0 , então o vetor gradiente de U em (w_1^*,w_2^*) deve ser perpendicular à reta definida pela equação w_1+w_2=1 .
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A derivada direcional de U no ponto \left(\frac{100}{4},\frac{100}{9}\right) e na direção \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) é \frac{45}{100}\sqrt{2} .
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A solução do problema de maximização com restrição acima é (w_1^*,w_2^*)=(0,1) , ou seja, o investidor prefere investir todo o seu dinheiro em apenas um instrumento financeiro.
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Tipo A — V/F
Matemática
Retas e planos
Distâncias, ângulos e geometria plana
Analise a veracidade das seguintes afirmações:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Para que as retas a_1x+b_1y+c_1=0 e a_2x+b_2y+c_2=0 sejam perpendiculares deve-se cumprir a_1a_2+b_1b_2=1 ;
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Para que as retas a_1x+b_1y+c_1=0 e a_2x+b_2y+c_2=0 se interceptem em um único ponto deve-se cumprir a_1b_2\ne a_2b_1 ;
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Ao girar o vetor (4,2\sqrt{3}) de um ângulo de 60º em sentido anti-horário resulta o vetor (3\sqrt{3},-1) ;
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A reta definida pelas equações 2x+3y+4z+5=0 e -x+2y-3z+4=0 é perpendicular ao plano dado por -17x+2y+7z+10=0 ;
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Para que a reta que passa por (-1,-1) e tenha direção dada pelo vetor (1,b) seja tangente à parábola y=x^2 , o valor de b pode ser 0{,}82 ou -4{,}82 , usando apenas duas casas decimais.
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