Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Distribuição Normal e Lognormal
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X\sim N(1,1) e Y\sim N(4,2) . Considere que uma amostra aleatória de tamanho n_x tenha sido retirada de X , e uma amostra aleatória de tamanho n_y tenha sido retirada de Y . Definindo \bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i e \bar Y=\frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i , são corretas as afirmati…
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Muito difícil · 0%
Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5+\bar Y)=Prob(T>1) , onde T=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Definindo a variável Z=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} , podemos dizer que Z tem distribuição normal padrão: Zsim N(0,1) .
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O valor de c tal que Prob(\bar Y>c)=0{,}25 é dado por Prob\left(K \le \frac{c-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}}\right)=0{,}75 , onde K=\frac{\bar Y-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}} .
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Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5-\bar Y)=Prob\left(\theta>\frac{-4}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}}\right) , onde \theta=\frac{(\bar X+\bar Y)-5}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Seja S_x^2 a variância de X para a amostra aleatória de tamanho n_x , ou seja, S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}(X_i-\bar X)^2 . Podemos, então, dizer que Prob(S_x^2>2)=Prob(W>1) para W=(n_x-1)S_x^2 .
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Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Esperança, variância, covariância e correlação
Variáveis aleatórias e funções de distribuição
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
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Uma estatística é uma função de valores de uma amostra enquanto um parâmetro descreve uma característica da população.
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Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
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A média amostral é uma variável aleatória.
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A média amostral é uma estatística, enquanto a média populacional é um estimador.
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Para amostras de tamanho 100, de uma variável aleatória X , o desvio padrão da média amostral é igual a um centésimo do desvio padrão de X .
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Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Propriedades dos estimadores
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por: f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases} Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0 . Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} , é proposto o seguinte est…
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Podemos dizer que \hat{\lambda} é um estimador não tendencioso para \lambda .
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\operatorname{Var}(\hat{\lambda})=\frac{\lambda}{4n} .
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\hat{\lambda} é um estimador consistente para \lambda .
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Considere o seguinte estimador para \lambda : \tilde{\lambda}=\frac{\bar{X}}{3} . Para n=4 , o Erro Quadrático Médio (EQM) de \tilde{\lambda} é menor que o EQM de \hat{\lambda} .
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Suponha que n=3 , e que sejam propostos os seguintes estimadores para \lambda : \dot{\lambda}=\frac{X_1}{4}+\frac{X_2}{8}+\frac{X_3}{8} e \ddot{\lambda}=\frac{X_1}{3}+\frac{X_2}{12}+\frac{X_3}{12} . Podemos dizer que \ddot{\lambda} é eficiente em relação a \dot{\lambda} como estimador para o parâmetro \lambda .
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Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Supondo que a taxa de desemprego de determinado país corresponda a 10% da população economicamente ativa (PEA), verifique se as afirmativas abaixo sobre esse país são corretas:
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Em uma amostra aleatória de 10 indivíduos da PEA, a probabilidade de que nenhum desses 10 indivíduos esteja desempregado é 10\times (0,9)^{10} .
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Em uma amostra aleatória de 10 indivíduos da PEA, a probabilidade de encontrar exatamente dois desempregados é 45\times (0,1)^2\times (0,9)^8 .
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Em uma amostra aleatória de 5 indivíduos da PEA, a probabilidade de 2 ou mais desses indivíduos estarem desempregados é 1-(0,9)^5-0,5\times (0,9)^4 .
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A probabilidade de encontrar 10 desempregados em uma amostra aleatória de 10 indivíduos da PEA é igual à probabilidade de encontrar 5 desempregados em uma amostra aleatória de 5 indivíduos da PEA.
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Em uma amostra aleatória de 3 indivíduos da PEA, a probabilidade de encontrar exatamente dois desempregados é igual a 0,027.
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Lei dos grandes números e convergência em probabilidade
Propriedades dos estimadores
Considere que Y_i, i=1,\ldots,n são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p . Definindo \varepsilon como sendo um número positivo, e k o número de vezes que Y_i é igual a 1 nas n seleções independentes, é correto afirmar:
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\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} .
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Pela Lei dos Grandes Números: \lim_{n\to\infty}\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\lt\varepsilon\right)=1 para todo \varepsilon\gt 0 .
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Suponha que p=0{,}2 . Para que a probabilidade de que \left(\frac{k}{n}-p\right)\lt 0{,}1 seja maior ou igual a 0{,}95 , devemos ter: n\geq \frac{0{,}2\times 0{,}8}{0{,}95\times 0{,}01} .
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Podemos dizer que \frac{k}{n} é um estimador consistente para p .
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Suponha que o valor de p seja desconhecido. Sabemos apenas que 0\lt p\lt 1 . Mesmo nesse caso, podemos dizer que a condição abaixo é satisfeita: \operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2} .
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Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Intervalos de confiança
Considere uma variável aleatória X com distribuição normal, média desconhecida igual a \mu , e variância desconhecida igual a \sigma^2 . Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar H_0:\mu=100 contra H_1:muneq 100 . Nessa amostra foi encontrada uma média igual a 110 ( \bar X=110 ) e uma variância igua…
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A probabilidade de erro do tipo I é 0,10.
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A hipótese nula não é rejeitada nesse teste.
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Podemos dizer que o p-valor é maior que 0,10.
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O intervalo de confiança de 90% para \mu é dado por: 110\pm (1,71\times 20) .
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Com os resultados da amostra, a hipótese nula seria rejeitada caso fosse escolhido o nível de significância de 5% para testar H_0:\mu=100 contra H_1:\mu>100 .
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Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Propriedades dos estimadores
Suponha que X seja uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p , em que 0 X=\begin{cases}1, \text{com probabilidade }p\0, \text{com probabilidade }1-pend{cases} . Para uma amostra aleatória de X com quatro observações X_1,X_2,X_3,X_4 , considera-se o estimador T=\frac{\left(\sum_{i=1}^{4}X_iright)+1}{6} . São corretas as afirmativas sobre esse estimador:
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Para p=\frac{1}{2} , o estimador é não tendencioso.
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Para p=\frac{1}{2} , temos Var(T)=\frac{1}{12} .
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Para p=\frac{1}{4} , o viés de T é igual a \frac{1}{12} .
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Para p=\frac{3}{4} , Var(T)=\frac{1}{36} .
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O erro quadrático médio de T não depende do valor de p .
Item cancelado
Este item foi marcado como cancelado pela ANPEC.
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Estimação pontual e distribuição amostral
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias tais que X_i\sim N(\mu,\sigma^2) para todo i=1,\ldots,n . Considere também que \operatorname{corr}(X_i,X_{i+1})=\rho para i=1,\ldots,n-1 ; e que \mu,\sigma^2 e \rho são parâmetros desconhecidos, com -1\lt\rho\lt 1 e \sigma^2\gt 0 . É correto afirmar:
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\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=n\mu .
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\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=n\sigma^2 .
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\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n-1}X_iX_{i+1}\right)=(n-1)(\rho\sigma^2+\mu^2) .
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Para n=2 , seja \hat{\mu}=\frac{X_1+X_2}{2} um estimador para \mu . Então, Var(\hat{\mu})=\frac{\sigma^2(1+\rho)}{2} .
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Seja n=2 e considere \hat{\sigma}^2=\frac{1}{2}(X_1^2+X_2^2)-\left(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\right)^2 um estimador para \sigma^2 . Esse estimador é não tendencioso.
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Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Propriedades dos estimadores
Seja Y uma variável aleatória com distribuição \chi^2 com k graus de liberdade. Defina \mu como a média de Y . Para estimar 2\mu , é proposto o estimador \phi(Y)=2\bar{Y}-1 , em que \bar{Y}=\sum_{i=1}^nY_i/n . Julgue as afirmativas:
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\phi(Y) é um estimador viesado de 2\mu .
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O estimador \phi(Y) tem variância igual a 2k/n .
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Quando n\to\infty , o erro quadrático médio de \phi(Y) tende para zero.
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Considere outro estimador para 2\mu : \psi(Y)=2(\bar{Y}-1) . Quando n\to\infty , \{\operatorname{E}[\psi(Y)]-2\mu\} tende para zero.
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Tipo A — V/F
Estatística
Intervalos de confiança
Distribuição Normal e Lognormal
Suponha que os salários em determinada firma tenham distribuição normal, com média \mu e variância conhecida igual a 400. Representando por \bar{X} a média dos salários de uma amostra retirada aleatoriamente dessa população, julgue as afirmativas abaixo. Para a resolução desta questão considere que se Z tem distribuição nor…
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O intervalo de confiança de 95% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 99% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-2{,}575\left(\frac{20}{n}\right),\bar{X}+2{,}575\left(\frac{20}{n}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 80% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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A probabilidade de que o intervalo aleatório \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] inclua \mu é igual a 95%.
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Sendo n=100 e \bar{X}=120 para determinada amostra, podemos dizer que a probabilidade de que o intervalo [120-(2\times2{,}575),120+(2\times2{,}575)] inclua \mu é igual a 99%.
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