Tipo A — V/F
Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição de Bernoulli com parâmetro p=0{,}5 . Definimos, então, Z e W da seguinte maneira: Z=X+Y e W=X-Y . Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
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Prob(Z=1,W=1)=\frac{1}{4} .
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Prob(Z=1\mid W=1)=\frac{1}{2} .
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Tipo A — V/F
Estatística
Estimação pontual e distribuição amostral
Distribuição Normal e Lognormal
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X\sim N(1,1) e Y\sim N(4,2) . Considere que uma amostra aleatória de tamanho n_x tenha sido retirada de X , e uma amostra aleatória de tamanho n_y tenha sido retirada de Y . Definindo \bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i e \bar Y=\frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i , são corretas as afirmati…
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Muito difícil · 0%
Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5+\bar Y)=Prob(T>1) , onde T=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Definindo a variável Z=\frac{(\bar X-\bar Y)+3}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} , podemos dizer que Z tem distribuição normal padrão: Zsim N(0,1) .
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O valor de c tal que Prob(\bar Y>c)=0{,}25 é dado por Prob\left(K \le \frac{c-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}}\right)=0{,}75 , onde K=\frac{\bar Y-4}{\sqrt{\frac{2}{n_y}}} .
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Prob(\bar X-0{,}5>0{,}5-\bar Y)=Prob\left(\theta>\frac{-4}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}}\right) , onde \theta=\frac{(\bar X+\bar Y)-5}{\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{2}{n_y}}} .
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Seja S_x^2 a variância de X para a amostra aleatória de tamanho n_x , ou seja, S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}(X_i-\bar X)^2 . Podemos, então, dizer que Prob(S_x^2>2)=Prob(W>1) para W=(n_x-1)S_x^2 .
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuição Uniforme
Variáveis aleatórias e funções de distribuição
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases} Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
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A variável aleatória X tem distribuição uniforme.
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Prob(1/4\le X \le 3/4)=1/3 .
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Prob(0\le Y \le 3/4)=1/2 .
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Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Considere que a distribuição da renda domiciliar do País A seja representada por uma variável aleatória X_A com distribuição lognormal, e que a distribuição da renda domiciliar do País B seja representada por uma variável aleatória X_B , também com distribuição lognormal. Suponha que \ln(X_A)=Y_A , onde Y_A tem média \theta_A e variânc…
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Mesmo que tenhamos \theta_A>\theta_B , não podemos garantir que E(X_A)>E(X_B) .
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Se \theta_A=2\theta_B e \gamma_A^2=\gamma_B^2 , então Var(X_A)=Var(X_B) .
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Suponha que \theta_A=10 e \gamma_A^2=1 . A probabilidade de que um domicílio selecionado aleatoriamente no País A tenha renda domiciliar menor que 100.000 é superior a 0,90.
Item cancelado
Este item foi marcado como cancelado pela ANPEC.
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Suponha ainda que \theta_A=10 e \gamma_A^2=1 . Um domicílio selecionado aleatoriamente no País A estará entre os 1% mais ricos desse país se a sua renda x_A for tal que x_A\geq e^{9{,}80} .
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Em ambos os países, os domicílios com renda abaixo de 10.000 recebem um benefício do governo. Se \theta_A=10 , \gamma_A^2=1 , \theta_B=12 e \gamma_B^2=2 , a probabilidade de um domicílio selecionado aleatoriamente no país B receber o benefício é maior que a probabilidade de um domicílio selecionado aleatoriamente no país A receber o benefício.
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Estatística
Distribuições Geométrica e Hipergeométrica
Sendo X uma variável aleatória com distribuição geométrica com parâmetro p , é correto afirmar:
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A probabilidade de X=3 é dada por: P(X=3)=p(1-p)^2 .
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A probabilidade de X>5 é dada por: P(X>5)=p(1-p)^4 .
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P(X \ge 8\mid X>4)=P(X>4) .
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Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Lei dos grandes números e convergência em probabilidade
Propriedades dos estimadores
Considere que Y_i, i=1,\ldots,n são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p . Definindo \varepsilon como sendo um número positivo, e k o número de vezes que Y_i é igual a 1 nas n seleções independentes, é correto afirmar:
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\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} .
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Pela Lei dos Grandes Números: \lim_{n\to\infty}\operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\lt\varepsilon\right)=1 para todo \varepsilon\gt 0 .
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Suponha que p=0{,}2 . Para que a probabilidade de que \left(\frac{k}{n}-p\right)\lt 0{,}1 seja maior ou igual a 0{,}95 , devemos ter: n\geq \frac{0{,}2\times 0{,}8}{0{,}95\times 0{,}01} .
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Podemos dizer que \frac{k}{n} é um estimador consistente para p .
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Suponha que o valor de p seja desconhecido. Sabemos apenas que 0\lt p\lt 1 . Mesmo nesse caso, podemos dizer que a condição abaixo é satisfeita: \operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2} .
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Estatística
Distribuição Normal e Lognormal
Intervalos de confiança
Considere uma variável aleatória X com distribuição normal, média desconhecida igual a \mu , e variância desconhecida igual a \sigma^2 . Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar H_0:\mu=100 contra H_1:muneq 100 . Nessa amostra foi encontrada uma média igual a 110 ( \bar X=110 ) e uma variância igua…
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A probabilidade de erro do tipo I é 0,10.
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A hipótese nula não é rejeitada nesse teste.
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Podemos dizer que o p-valor é maior que 0,10.
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O intervalo de confiança de 90% para \mu é dado por: 110\pm (1,71\times 20) .
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Com os resultados da amostra, a hipótese nula seria rejeitada caso fosse escolhido o nível de significância de 5% para testar H_0:\mu=100 contra H_1:\mu>100 .
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Distribuição de Poisson
Distribuições Bernoulli e Binomial
Suponha que a variável aleatória X tem Distribuição de Poisson com média \tau , em que \tau&\gt;0 , e que a variável aleatória Y tem Distribuição de Poisson com média \mu , em que \mu&\gt;0 . Considere que X e Y são independentes. Supondo também que k e n são inteiros tais que 0\leq k\leq n , são corretas as afirmativas abaixo:
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Usando o fato de que (\tau+\mu)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mu^{n-k}\tau^k , podemos dizer que, para qualquer n&\gt;0 , Prob(X+Y=n)=\frac{e^{-\tau-\mu}}{n!} .
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Prob[(Y=k)\cap(X+Y=n)]=\frac{e^{-\tau}\tau^k}{k!}\frac{e^{-\mu}\mu^{n-k}}{(n-k)!} .
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Prob(Y=k|X+Y=n)=\frac{n!}{k!}\frac{\tau^kmu^{n-k}}{(\tau+\mu)^n} .
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A distribuição condicional de Y , dado que X+Y=n , é uma binomial com parâmetros n e \tau+\mu .
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Tipo A — V/F
Estatística
Distribuições Bernoulli e Binomial
Distribuição Normal e Lognormal
Distribuições Qui-quadrado, t e F
Considere as principais distribuições de probabilidade e julgue as afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A distribuição de probabilidade hipergeométrica é um caso particular da distribuição binomial.
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A distribuição t-Student é um caso particular da distribuição Normal.
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Seja X uma variável aleatória com distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, então Y=X^2 segue uma distribuição F(1,n) .
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Seja X uma variável aleatória com distribuição log-Normal, então Y=\ln(X) segue uma distribuição Normal.
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Se W_1,\ldots,W_n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição Normal, então Y=\sum_{i=1}^n W_i tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
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Tipo A — V/F
Estatística
Intervalos de confiança
Distribuição Normal e Lognormal
Suponha que os salários em determinada firma tenham distribuição normal, com média \mu e variância conhecida igual a 400. Representando por \bar{X} a média dos salários de uma amostra retirada aleatoriamente dessa população, julgue as afirmativas abaixo. Para a resolução desta questão considere que se Z tem distribuição nor…
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
O intervalo de confiança de 95% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 99% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-2{,}575\left(\frac{20}{n}\right),\bar{X}+2{,}575\left(\frac{20}{n}\right)\right] .
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O intervalo de confiança de 80% para a média de salários da população é dado por \left[\bar{X}-1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}645\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] .
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A probabilidade de que o intervalo aleatório \left[\bar{X}-1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right),\bar{X}+1{,}96\left(\frac{20}{\sqrt{n}}\right)\right] inclua \mu é igual a 95%.
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Sendo n=100 e \bar{X}=120 para determinada amostra, podemos dizer que a probabilidade de que o intervalo [120-(2\times2{,}575),120+(2\times2{,}575)] inclua \mu é igual a 99%.
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