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Questão 06
Considere a regressão múltipla Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i . Suponha que X_{1i} e X_{2i} são variáveis contínuas e correlacionadas. Sobre os efeitos da omissão de X_2 na estimação por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Considere a regressão múltipla Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i. Suponha que X_{1i} e X_{2i} são variáveis contínuas e correlacionadas. Sobre os efeitos da omissão de X_2 na estimação por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Não respondido
A omissão de X_2 causa viés no estimador para \beta_1 se X_2 for correlacionado com X_1 e afeta Y.
Não respondido
O viés no estimador para \beta_1 depende apenas da independência linear de X_1 em relação a X_2.
Não respondido
Se \beta_2=0, então a omissão de X_2 não gera viés no estimador de \beta_1, mesmo que X_1 e X_2 sejam correlacionados.
Não respondido
A presença de multicolinearidade perfeita entre X_1 e X_2 inviabiliza a estimação por MQO.
Não respondido
A variância do estimador de \beta_1 tende a aumentar com a correlação entre X_1 e X_2.
Questão 08
Considere o seguinte modelo de regressão linear simples: y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i , onde E[u\mid x]=0 e Var[u\mid x]=\sigma^2 . Considere uma amostra aleatória da população com n observações, {(x_i,y_i): i=1,2,\ldots,n} , e que a variável independente não é constante. Defina \hat\beta_0 como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para \beta_0 , e \hat\beta_1 como o estimad…
Considere o seguinte modelo de regressão linear simples: y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i, onde E[u\mid x]=0 e Var[u\mid x]=\sigma^2. Considere uma amostra aleatória da população com n observações, {(x_i,y_i): i=1,2,\ldots,n}, e que a variável independente não é constante. Defina \hat\beta_0 como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para \beta_0, e \hat\beta_1 como o estimador de MQO para \beta_1. Defina também \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Cancelado
Var(\hat\beta_1\mid x)=\frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
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Cancelado
Var(hatbeta_0\mid x)=\sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\right).
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Cancelado
Condicionando em x, a covariância entre hatbeta_0 e hatbeta_1 é dada por: -\bar{x},\frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
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Não respondido
Definindo k_i=\frac{1}{n}-\bar{x}\frac{x_i-\bar{x}}{\sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2}, podemos escrever: \hat\beta_0=\sum_{i=1}^n k_i x_i.
Cancelado
Seja tildebeta_0=\sum_{i=1}^n d_i y_i um estimador para o parâmetro \beta_0. Se \sum_{i=1}^n d_i=1 e \sum_{i=1}^n d_i x_i=0, esse estimador é não viesado.
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Questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo: Y=\beta_0+\beta_1Z+u . Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2 . No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (M…
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Não respondido
Sendo \hat{\alpha}_1 o estimador de MQO para \alpha_1, então o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_1 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}.
Não respondido
O estimador de MQO para \alpha_1 apresenta um viés de atenuação em relação ao parâmetro \beta_1. Para um valor fixo de \sigma_w^2, esse viés de atenuação aumenta à medida que \sigma_Z^2 aumenta.
Não respondido
Defina \hat{\gamma}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})Y_i}{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})X_i}, onde \bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^n S_i}{n}. Então, \hat{\gamma}_1 é um estimador consistente para o parâmetro \beta_1.
Não respondido
Definindo \hat{\alpha}_0 como o estimador de MQO para \alpha_0, podemos dizer que o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_0 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_0=\beta_0+\beta_1\left(\frac{\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}\right)\bar{X}, onde \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}.
Não respondido
Suponha que o pesquisador tenha acesso a uma amostra aleatória da população com n observações \{(T_i,Y_i):i=1,2,\ldots,n\}, e que a variável T seja tal que T=Z+v. Suponha que v tenha média \mu_v\gt 0 e variância \sigma_v^2, e que v seja distribuído de maneira independente de u e de Z. Sendo \hat{\delta}_1 o estimador de MQO para \delta_1 na equação Y=\delta_0+\delta_1T+\varphi, temos: \operatorname{plim}\hat{\delta}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_v^2}{\sigma_Z^2+\sigma_v^2}.
Questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u , com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
Não respondido
A hipótese de que V(u|X)=\sigma^2 não é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam consistentes.
Não respondido
A omissão da variável explicativa relevante para explicar a variável dependente torna a estimativa dos parâmetros (\beta_1,\ldots,\beta_k) tendenciosa e inconsistente, se e somente se, a variável omitida for correlacionada com a respectiva variável explicativa (x_1,\ldots,x_k) incluída no modelo.
Não respondido
Se o termo de erro for perfeitamente correlacionado com a variável explicativa é impossível obter o estimador de MQO.
Não respondido
A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores ineficientes.
Não respondido
Os estimadores de mínimos quadrados ordinários e de máxima verossimilhança coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos.
Questão 03
Um pesquisador interessado em investigar o retorno educacional considera estimar o seguinte modelo: Salario_i=\beta_0+\beta_1 Escolaridade_i+u_i . Onde, Salário_i é dado em reais por hora e Escolaridade é dada em anos. O estimador de mínimos quadrados ordinários dos betas são b. Supondo que o modelo verdadeiro, sob o qual vale a hipótese de e…
Um pesquisador interessado em investigar o retorno educacional considera estimar o seguinte modelo: Salario_i=\beta_0+\beta_1 Escolaridade_i+u_i. Onde, Salário_i é dado em reais por hora e Escolaridade é dada em anos. O estimador de mínimos quadrados ordinários dos betas são b. Supondo que o modelo verdadeiro, sob o qual vale a hipótese de exogeneidade das variáveis independentes, inclui uma variável de habilidade dos indivíduos x_2, julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
O estimador de mínimos quadrados ordinários para \beta_1 apresenta um viés de tamanho \beta_2 d_{12}, onde d_{12} é o coeficiente de inclinação da regressão de habilidade em escolaridade.
Não respondido
A variância do estimador da regressão simples para a equação 1 será sempre menor do que a variância da regressão múltipla para o modelo verdadeiro.
Não respondido
A variância dos salários será dada por \beta_0^2+\beta_1^2 V(escolaridade_i)+V(u_i); em que V = variância.
Não respondido
A covariância amostral entre os valores preditos pela equação 1, estimada por mínimos quadrados ordinários, e os seus resíduos é sempre igual a zero.
Não respondido
Se a correlação entre escolaridade e habilidade é igual a 0,95, a variância dos estimadores de mínimos quadrados ordinários para o modelo verdadeiro aumenta e este estimador será, portanto, não eficiente, mesmo se os erros forem homocedásticos e não correlacionados na cross-section.