Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Matrizes e determinantes
Transformações lineares, núcleo e imagem
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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0 acertos
0 erros
Fácil · 100%
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
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Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x . Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R} , com x_1\neq x_2 , tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
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Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix} . Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
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Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1) , \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2 .
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Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)) . Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Elasticidade e taxa de crescimento
Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t) , e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t) . Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
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Não classificada
Se f,g: \mathbb{R} \to (0,\infty) são deriváveis e t \in \mathbb{R} , então \widehat{(f+g)}(t)=\hat{f}(t)+\hat{g}(t) .
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Se f,g: \mathbb{R} \to (0,\infty) são deriváveis e t \in \mathbb{R} , então \widehat{(fg)}(t)=\hat{f}(t)\hat{g}(t) .
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Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R} , então \widehat{(1/f)}(t)=-\hat{f}(t) .
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Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R} , então \widehat{(\exp \circ f)}(t)=(\ln \circ f)'(t) ; onde \exp denota a função exponencial e \ln a função logarítmica, ambos de base e .
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Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R} , então \widehat{(f \circ f)}(t)=\hat{f}(f(t))\hat{f}(t)f(t) .
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Tipo A — V/F
Matemática
Limites e continuidade
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas e funções deriváveis
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Fixado um número real \alpha\in(0,1) , defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0 . Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
A função f não é derivável no ponto x=0 , mas existe o \lim_{xto 0}f(x) , sendo que este é igual a zero.
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Quando x_1\lt x_2\lt 1 , teremos f(x_1)\lt f(x_2) , enquanto que, quando se tem a desigualdade x_4\gt x_3\gt 1 , vale que f(x_3)\gt f(x_4) .
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A desigualdade f''(x)\gt 0 vale para todo x\gt 0 .
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Quando \alpha=\frac{1}{2} , o problema de minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} não admite solução, enquanto que o problema de maximizar f(x) em x\in\mathbb{R} tem x=1 como única solução.
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A integral \int_0^{+\infty} f(x),dx não converge.
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções implícitas e Teorema do Envelope
Limites e continuidade
Máximos e mínimos em várias variáveis
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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A equação 2y-\frac{y^2}{2}+x^2-x-\frac{3}{2}=0 define implicitamente y como função de x , denotada por y=f(x) , em uma vizinhança do ponto (x_0,y_0)=(0,1) , valendo que f^\prime(0)=1 .
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Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função continuamente diferenciável e sua derivada f':\mathbb{R}\to\mathbb{R} é tal que f'(-x)=-f'(x) para todo x\in\mathbb{R} , então f(1)=f(-1) .
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O valor de a\in\mathbb{R} que minimiza \int_0^a x^2\,dx é a=0 .
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\int_0^1 x^5 e^{x^2},dx=\frac{e-2}{4} .
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\int_{-1}^{2}\left(\int_0^1 |x-y|\,dx\right)\,dy=0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Limites e continuidade
Derivadas e funções deriváveis
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Sejam f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R} definidas por f(x)=(x-1)^5 e g(x)=\frac{|x|}{1+x} . Julgue as afirmativas:
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Não classificada
(g\circ g)\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2} .
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\lim_{x\to-\infty}g(x)=-1 .
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1 é ponto de inflexão de f .
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\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x)\,dx=0 .
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É nula a soma de todos os coeficientes da série de Taylor de f em torno do ponto zero.
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Matemática
Máximos e mínimos em várias variáveis
Autovalores, autovetores e diagonalização
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas parciais, gradiente e diferencial total
Sejam g:\mathbb{R}tomathbb{R} e f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} as funções g(x)=e^{2x} e f(x,y)=g(x)+\ln(g(y)) . Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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Não classificada
A função f não possui pontos críticos.
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0 é autovalor da matriz Hessiana H_f(x,y) de f , para todo (x,y) de \mathbb{R}^2 .
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g é decrescente em (-\infty,0) .
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Vale a desigualdade g''(x)\geq \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) se, e somente se, 2x+\ln(2)\geq 0 .
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Matemática
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Propriedades dos números reais e desigualdades
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Para todo número natural n\geq 1 , vale que \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1) , em que \ln(a) representa o logaritmo natural de a\gt 0 .
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Para todo número real x\in\mathbb{R} , vale que x+\sqrt{x^2+1}\gt 0 .
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Dados dois números reais x,y\in\mathbb{R} , vale a desigualdade |x-y|\geq 1 se, e somente se, x\geq y+1 .
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O conjunto A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x}{e^x}\gt e^{-1}\right\} satisfaz A=\varnothing , em que e=2{,}718281\ldots é o número irracional neperiano.
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Para todo número real x\gt 0 tal que x\neq 1 , vale a desigualdade \ln(x)\lt x-1 , permitindo concluir que \pi^e\lt e^{\pi} , em que \pi=3{,}14159\ldots é o número irracional pi.
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Tipo A — V/F
Matemática
Derivadas e funções deriváveis
Limites e continuidade
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R} , definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2 , g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3 . Julgue as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
f(x)+g(-x)=x^2 para todo xinmathbb{R} .
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A função h é uma bijeção.
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A função f é contínua em x=0 .
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A função g não é derivável em x=0 .
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A função h possui um ponto de inflexão em x=-1 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
Equações diferenciais lineares de 2ª ordem
Derivadas e funções deriváveis
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
As soluções da equação diferencial y=2y' são dadas por funções da forma y(x)=ce^{2x} , em que c é uma constante.
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Uma função y:(0,+\infty)tomathbb{R} é solução da equação diferencial y'=y/x-1 se, e somente se, y(x)=x(c-\ln(x)) , para alguma constante cinmathbb{R} .
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Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial xy'-y=0 se, e somente se, y for uma função linear, ou seja, existe kinmathbb{R} tal que y(x)=kx , para todo xinmathbb{R} .
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Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial y''=\alpha y'+\beta , em que \alpha,betainmathbb{R} com alphaneq 0 , se, e somente se, existe uma constante cinmathbb{R} tal que y(x)=-\frac{\beta}{\alpha}x+c .
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Dada uma função real y:\mathbb{R}tomathbb{R} que possui derivadas de todas as ordens, denote por y^{(n)}(x) a sua derivada de ordem ngeq 3 . Fixado ngeq 3 , o conjunto de todas as soluções para y^{(n)}=0 é dado pelo conjunto de todos os polinômios p:\mathbb{R}tomathbb{R} de grau menor ou igual a n .
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Tipo A — V/F
Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Limites e continuidade
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Se todo elemento do intervalo [0,1] é ponto de máximo local da função f , então \int_0^1 f''(x)\,dx\lt 0 .
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Se f'(x^*)=-1 e f''(x^*)\lt 0 , então x^* é ponto de máximo local da função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=f(x)+x .
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Se, para todo natural n\geq 1 , vale que f(c)\geq f(x)-\frac{1}{n} para todo x , então f'(c)=0 .
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Se g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é definida por g(x)=f(e^x) , então g'(x)=f'(x)e^x .
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Se 0\leq f(x)\leq 1 , então 0\leq f''(x)\leq 1 .
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