Tipo A — V/F
Matemática
Propriedades dos números reais e desigualdades
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R} , classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Fácil · 100%
Vale que x^2+y^2=0 se, e somente se, x=0 e y=0 .
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Vale que
x^2 \lt y^2 se, e somente se,
\lvert x\rvert \lt \lvert y\rvert .
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Vale a desigualdade \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} , para todo x,y\geq 0 .
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Se x^{2026}=y^{2026} então x-y=0 ou x+y=0 .
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Se xy\lt0 então x\lt0 e y\gt0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Integrais impróprias
Propriedades dos números reais e desigualdades
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
\int_{-\pi}^{\pi} [x+2sen(x)],dx > 0 .
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\int_{-4}^{-2}(x+4)^5,dx = -\int_{2}^{0}x^5,dx .
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Se n\geq 1 representa um número natural, e representa o número de Euler, e a sequência (y_n) é definida de modo que y_n=\int_0^{2n\pi} e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx para todo n , então \lim_{n\to+\infty} y_n=e .
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Seja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável, e a>0 . Se b^* é o maior valor de b \in \mathbb{R} que faz com que f(a)-b \ge f(0) seja verdade, então b^*=\int_0^a f'(x),dx .
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Sejam f,g:[a,b]\to\mathbb{R} duas funções, cada qual duas vezes continuamente diferenciável, em que a\lt b . Se g(x)=\int_a^x f(t)\,dt e f(x)=1-\int_a^x g(t)\,dt , então f''(x)=-f(x) e g''(x)=-g(x) para todo x\in[a,b] .
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Tipo A — V/F
Matemática
Equações diferenciais lineares de 1ª e 2ª ordem
Propriedades dos números reais e desigualdades
Considere o seguinte problema: seja y:\mathbb{R}tomathbb{R} diferenciável tal que, para todo xinmathbb{R} , \frac{dy}{dx}+2xy=mx, y(0)=7 , onde m:\mathbb{R}tomathbb{R} é uma função fixada. Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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Não classificada
Para m=y a equação é homogênea.
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Para m=y^2 a equação é ordinária e linear.
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Para m=0 identicamente nula, a solução é dada por y=7e^{-x^2} .
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Para m=4 a solução é dada por y=2+5e^{-x^2} .
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Para m tal que m(x)=e^{-x^2},\ \forall x\in\mathbb{R} , a solução é y=(x+7)e^{-x^2} .
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Propriedades dos números reais e desigualdades
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Não classificada
Para todo número natural n\geq 1 , vale que \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1) , em que \ln(a) representa o logaritmo natural de a\gt 0 .
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Para todo número real x\in\mathbb{R} , vale que x+\sqrt{x^2+1}\gt 0 .
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Dados dois números reais x,y\in\mathbb{R} , vale a desigualdade |x-y|\geq 1 se, e somente se, x\geq y+1 .
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O conjunto A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x}{e^x}\gt e^{-1}\right\} satisfaz A=\varnothing , em que e=2{,}718281\ldots é o número irracional neperiano.
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Para todo número real x\gt 0 tal que x\neq 1 , vale a desigualdade \ln(x)\lt x-1 , permitindo concluir que \pi^e\lt e^{\pi} , em que \pi=3{,}14159\ldots é o número irracional pi.
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Matemática
Operações e composição de funções
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A . Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A} . Julgue as seguintes afirmativas:
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Não classificada
A função h:Ato C que satisfaz h(a)=f(a) para todo ain A é uma sobrejeção.
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D=B somente se g é injetora.
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Se f e g são bijeções, então a função j:Ato B definida por j(a)=f(g(f(a))) também é uma bijeção.
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Se g(f(a))=a para todo ain A , então f é injetora.
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Se a função k:Ctimes Ato Btimes A definida por k(b,a)=(f(g(b)),g(f(a))) satisfizer k(b,a)=(b,a) , então as funções f e g são ambas bijeções.
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Matemática
Convergência de séries
Propriedades dos números reais e desigualdades
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Média · 50%
A série \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln\left[\frac{n^{n-1}}{(n-1)^n}\right]}{n(n-1)} é convergente e seu valor é 0 .
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Se f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} é uma função e 0\lt a\lt 1 é um número real dado de modo que, para todo x\geq 0 , temos f(x)\leq a^x , então a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge.
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A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-2}{n^2} converge.
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\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\operatorname{sen}(n\pi)=0 .
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Se a>1 é um número inteiro, então \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^n}\right)-\frac{1+a}{a^2}=\frac{1}{a^3-a^2} .
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Derivadas e funções deriváveis
Produto cartesiano e relações
Suponha que temos dois conjuntos não vazios A e B de números reais. Sejam f:Ato B e g:Bto A duas funções que satisfazem g(f(x))=x para todo xin A . Julgue as seguintes afirmativas:
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A função f é sobrejetora.
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Se f é sobrejetora, então f(g(x))=x para todo xin B .
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A função q:Ato Atimes B definida por q(x)=(x,h(x)) é injetora para qualquer h:Ato B .
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Se definimos p:Atimes Bto A como p(x,y)=x , então p é sobrejetora.
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Tipo A — V/F
Matemática
Concavidade, convexidade e Hessiana
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Propriedades dos números reais e desigualdades
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A função f(x)=\ln(x^2-1) é convexa no seu domínio.
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A função f(x)=(\ln x)^2-1 tem um ponto de inflexão no menor ponto onde ela se anula.
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A função f(x)=\frac{1+x}{1+x^2} tem três pontos de inflexão.
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A função f(x)=\frac{1+x}{1+x^2} tem dois pontos críticos e nenhum deles é um extremo da função.
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A função f(x)=\frac{1+x}{1+x^2} decresce quando o valor absoluto de x tende para o infinito.
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Tipo A — V/F
Matemática
Propriedades dos números reais e desigualdades
Operações entre conjuntos e cardinalidade
Considere o seguinte conjunto: C=\{(x,y):x^2-2x-1\leq y\leq \min\{x+17,-x+19\}\} . Analise a veracidade das seguintes afirmações:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
O valor máximo da coordenada horizontal de C é 19 ;
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O valor mínimo da coordenada horizontal de C é -3 ;
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O valor máximo da coordenada vertical de C é 15 ;
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O valor mínimo da coordenada vertical de C é -2 ;
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A interseção de C com o eixo vertical determina um segmento de comprimento 18 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Derivadas e funções deriváveis
Concavidade, convexidade e Hessiana
Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
Se f:B\to C e g:A\to B são duas funções injetoras, então (f\circ g)^{-1} , definida em D=\{z\in C:\exists x\in A\ \text{tal que}\ f(g(x))=z\} , é uma função sobrejetora;
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Se f:B\to C e g:A\to B são duas funções tais que f\circ g é bijetora, então g é sobrejetora e f é injetora;
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Se f(x)=\frac{x+1}{x-1} definida em \mathbb{R}\setminus\{1\} , então f^{-1}(x)=f(x) ;
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Se f:B\to C é sobrejetora e g:A\to B é injetora, então f\circ g é sobrejetora;
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Seja f:[0,16]\to\mathbb{R} definida por f(x)=2x^{\frac{1}{2}} . O valor máximo do contradomínio de f^{(5)}(x) é 2 , em que f^{(5)}(x)=(f\circ f\circ f\circ f\circ f)(x) .
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