Tipo A — V/F
Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Integrais impróprias
Propriedades dos números reais e desigualdades
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
\int_{-\pi}^{\pi} [x+2sen(x)],dx > 0 .
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\int_{-4}^{-2}(x+4)^5,dx = -\int_{2}^{0}x^5,dx .
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Se n\geq 1 representa um número natural, e representa o número de Euler, e a sequência (y_n) é definida de modo que y_n=\int_0^{2n\pi} e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx para todo n , então \lim_{n\to+\infty} y_n=e .
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Seja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável, e a>0 . Se b^* é o maior valor de b \in \mathbb{R} que faz com que f(a)-b \ge f(0) seja verdade, então b^*=\int_0^a f'(x),dx .
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Sejam f,g:[a,b]\to\mathbb{R} duas funções, cada qual duas vezes continuamente diferenciável, em que a\lt b . Se g(x)=\int_a^x f(t)\,dt e f(x)=1-\int_a^x g(t)\,dt , então f''(x)=-f(x) e g''(x)=-g(x) para todo x\in[a,b] .
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Tipo A — V/F
Matemática
Limites e continuidade
Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão
Derivadas e funções deriváveis
Otimização condicionada com restrições de desigualdade
Fixado um número real \alpha\in(0,1) , defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0 . Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Não classificada
A função f não é derivável no ponto x=0 , mas existe o \lim_{xto 0}f(x) , sendo que este é igual a zero.
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Quando x_1\lt x_2\lt 1 , teremos f(x_1)\lt f(x_2) , enquanto que, quando se tem a desigualdade x_4\gt x_3\gt 1 , vale que f(x_3)\gt f(x_4) .
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A desigualdade f''(x)\gt 0 vale para todo x\gt 0 .
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Quando \alpha=\frac{1}{2} , o problema de minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} não admite solução, enquanto que o problema de maximizar f(x) em x\in\mathbb{R} tem x=1 como única solução.
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A integral \int_0^{+\infty} f(x),dx não converge.
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções implícitas e Teorema do Envelope
Limites e continuidade
Máximos e mínimos em várias variáveis
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
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Não classificada
A equação 2y-\frac{y^2}{2}+x^2-x-\frac{3}{2}=0 define implicitamente y como função de x , denotada por y=f(x) , em uma vizinhança do ponto (x_0,y_0)=(0,1) , valendo que f^\prime(0)=1 .
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Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função continuamente diferenciável e sua derivada f':\mathbb{R}\to\mathbb{R} é tal que f'(-x)=-f'(x) para todo x\in\mathbb{R} , então f(1)=f(-1) .
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O valor de a\in\mathbb{R} que minimiza \int_0^a x^2\,dx é a=0 .
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\int_0^1 x^5 e^{x^2},dx=\frac{e-2}{4} .
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\int_{-1}^{2}\left(\int_0^1 |x-y|\,dx\right)\,dy=0 .
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Tipo A — V/F
Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso:
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Não classificada
\int_{-100}^{100}(x^{385}+x^{386}),dx>0 .
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\int_{0}^{\pi/2}3[1-\operatorname{sen}(x)][x+\cos(x)]^2,dx=\frac{\pi}{2} .
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Se F(x)=\int_x^{x+1}24xy,dy então F(x)=24x^2+12x .
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Se g(x,y)=\int_1^{x^2y}e^{-t^2},dt então \frac{\partial g}{\partial y}(1,0)=1 .
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\int_0^1\int_y^{\sqrt{y}}1,dx,dy=\int_0^1\int_{x^2}^{x}1,dy,dx .
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Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Limites e continuidade
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
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Não classificada
Se todo elemento do intervalo [0,1] é ponto de máximo local da função f , então \int_0^1 f''(x)\,dx\lt 0 .
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Se f'(x^*)=-1 e f''(x^*)\lt 0 , então x^* é ponto de máximo local da função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=f(x)+x .
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Se, para todo natural n\geq 1 , vale que f(c)\geq f(x)-\frac{1}{n} para todo x , então f'(c)=0 .
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Se g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é definida por g(x)=f(e^x) , então g'(x)=f'(x)e^x .
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Se 0\leq f(x)\leq 1 , então 0\leq f''(x)\leq 1 .
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Integrais impróprias
Funções homogêneas e Teorema de Euler
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
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\lim_{a\to 0}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=+\infty .
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Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função homogênea de grau 1 e f(2)=4 , então \int_0^{\sqrt{3}}f(x)\,dx=1 .
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\int_{-2}^{2}\left[\max\{2x,2x^2\}-x(1+x)-|x-x^2|\right]\,dx=0 .
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\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+e^x},dx=1 .
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Se definimos f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} por f(x)=\int_0^x\left(\int_1^t \frac{1}{u^2}\,du\right)dt , então f'(x)=\ln x^2 .
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Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
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Dada uma constante k\gt 1 , \lim_{a\to 0^+}\int_a^{ka}\frac{1}{x}\,dx=0 .
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\lim_{n\to\infty}\int_0^1\left(x^{\frac{1}{n}}-x^n\right)\,dx=1 .
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\int_0^{\pi}e^xsin(x),dx=1+e^{\pi} .
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\int_{-1}^{1}\frac{x^{2020}(\cos x)^{21}\sin x}{(x^2+1)^{2020}|x|},dx=0 .
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\ln(2)>2\int_0^1\frac{x}{1+x^2},dx .
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Matemática
Convergência de séries
Integrais impróprias
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Muito difícil · 0%
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} é absolutamente convergente.
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Se a série \sum_{n=1}^{\infty}x_n é absolutamente convergente, então \sum_{n=1}^{\infty}x_n é convergente.
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A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n^3}{e^n} é convergente.
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A integral \int_0^{+\infty}e^{-x}\operatorname{sen}^2(x)\,dx é convergente e seu valor é menor ou igual a 1 .
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A integral \int_1^{+\infty}\frac{x^3}{x^4+4},dx é convergente.
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Tipo A — V/F
Matemática
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Produto cartesiano e relações
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Considere que f(x) , g(x) e h(x) são funções diferenciáveis e que tanto a expressão \frac{df(x)}{dx} como a expressão f'(x) denotam a derivada da função f(x) . Avalie as expressões abaixo quanto a sua veracidade:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Muito difícil · 0%
Se \int f(x),dx=e^{x^2} , então f(x)=x^2e^{x^2} .
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Se a expansão em Taylor até terceira ordem de f(x) em x=0 é P_3(x)=5x^3 , então podemos afirmar que f(x) tem um ponto de inflexão em x=0 .
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\int_{-0,5}^{0,5}\frac{2x}{1-x^2},dx=\int_{u_1}^{u_2}\frac{1}{-u},du=\ln(0,75)-\ln(0,25) , em que u=x^2-1 .
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Como \frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)]=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) , então \int_a^b f(x)g(x)h'(x),dx=[f(b)g(b)h(b)-f(a)g(a)h(a)]-\int_a^b[f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)],dx .
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Tipo A — V/F
Matemática
Integral definida, áreas e Teorema Fundamental do Cálculo
Convergência de séries
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
0 /5 itens V/F respondidos
0 acertos
0 erros
Fácil · 80%
A integral \int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2+x} é convergente.
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A integral \int_2^{\infty}\frac{dx}{x^2-x+1} não converge.
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A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} converge porque \frac{1}{n} tende para zero quando n vai para o infinito.
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A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k^2(\ln 2)^2} diverge porque \frac{2^k}{k^2(\ln 2)^2} tende para o infinito quando k vai para o infinito.
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A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(2^k)} converge.
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