ANPEC 2017
Estatística
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Criar conta gratuitaQuestão 01
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Com relação aos números-índices, podemos afirmar:
Item 0
O cálculo do Índice de Preços de Laspeyres requer que as quantidades sejam apuradas em todos os períodos;
Item 1
O Índice de Preços de Paasche do período t é uma ponderação dos preços e quantidades atuais pelas quantidades atuais, mas mantendo o preço do ano base;
Item 2
O Índice de Quantidades de Laspeyres do período t é calculado ponderando-se os preços e quantidades do período t pelos preços e quantidades do período base;
Item 3
Se a correlação entre preços relativos e quantidades relativas é negativa, o Índice de Preços de Paasche é maior que o Índice de Preços de Laspeyres;
Item 4
O Índice de Preços de Paasche do período h, com base no período t, é o inverso do Índice de Preços de Paasche do período t, com base no período h.
Questão 02
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Seja X uma variável aleatória com média \mu_x e variância \sigma_x^2, e seja Y uma variável aleatória com média \mu_y e variância \sigma_y^2. Considere que \sigma_x\gt 0 e \sigma_y\gt 0. Sendo \operatorname{cov}(X,Y) a covariância entre X e Y e \operatorname{corr}(X,Y) a correlação entre X e Y, podemos afirmar que:
Item 0
\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}[(X-\mu_x)Y]\operatorname{E}[(Y-\mu_y)X];
Item 1
Se \mu_y=0 ou \mu_x=0, então \operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY);
Item 2
Se \mu_y=0 e \mu_x=0, \operatorname{corr}(X,Y)=0;
Item 3
Se \operatorname{E}(Y/X)=\mu_y, então \operatorname{cov}(X,Y)=0;
Item 4
Se \operatorname{cov}(X,Y)\gt 0, então 0\lt \operatorname{corr}(X,Y)\leq 1.
Questão 03
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São corretas as afirmativas:
Item 0
Se X é uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p, em que n é um inteiro positivo e 0\lt p\lt 1, então \operatorname{E}(X)=np e \operatorname{Var}(X)=p(1-p).
Item 1
Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se \operatorname{E}(X)=\lambda, então a variância de X é \lambda.
Item 2
Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída em [-c,c], em que c\gt 0, então \operatorname{E}(X)=0.
Item 3
Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade \operatorname{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p, em que 0\lt p\lt 1 e k=1,2,\ldots. Então \operatorname{E}(X)=kp.
Item 4
Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade \operatorname{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p, em que 0\lt p\lt 1 e k=1,2,\ldots. Então a variância de X é \frac{1-p}{p^2}.
Questão 04
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal (\mu,\sigma^2), em que \mu e \sigma^2 são desconhecidos e \sigma^2\gt 0. Podemos definir também \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i e S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2.
Podemos afirmar:
Item 0
S^2 é um estimador não tendencioso de \sigma^2.
Item 1
A variância de \bar{X} é igual a \frac{\sigma^2}{n}.
Item 2
S^2 é um estimador não tendencioso para a variância de \bar{X}.
Item 3
S^2 é um estimador consistente de \sigma^2.
Item 4
\bar{X} é um estimador consistente de \mu.
Questão 05
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Considere o modelo de regressão linear:
y_i=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}+u_i,\quad i=1,\ldots,n, em que \operatorname{E}(u_i\mid x_{1i},x_{2i})=0.
Com base nesse modelo, é correto afirmar:
Item 0
A hipótese \operatorname{E}(u_i\mid x_{1i},x_{2i})=0 não é necessária para que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) de \beta_1 seja consistente.
Item 1
Se \operatorname{Var}(u_i\mid x_{1i},x_{2i})=\sigma^2, o estimador de MQO de \beta_1 tem distribuição normal.
Item 2
Se \operatorname{Var}(u_i\mid x_{1i},x_{2i})=x_{1i}\sigma^2, o estimador de MQO de \beta_1 é tendencioso.
Item 3
Se a correlação entre x_{1i} e x_{2i} é igual a 0{,}95, o estimador de MQO de \beta_1 não é eficiente.
Item 4
Suponha que os parâmetros do modelo tenham sido estimados por MQO. Se \operatorname{Var}(u_i\mid x_{1i},x_{2i})=x_{1i}\sigma^2, a estatística t não é válida para testar a significância dos parâmetros do modelo.
Questão 06
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Considere o modelo de regressão linear simples:
y=\beta_0+\beta_1x+u.
Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados:
\sum_{i=1}^{10}x_i=10,\quad \sum_{i=1}^{10}y_i=400,\quad \sum_{i=1}^{10}x_iy_i=500,\quad \text{e}\quad \sum_{i=1}^{10}x_i^2=15.
Sendo \hat{\beta}_1 o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários de \beta_1, calcule o valor da estimativa para \hat{\beta}_1 usando os resultados dessa amostra.
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Questão 07
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Com relação à Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que:
Item 0
Sejam os eventos independentes A e B, então P(A\cup B)=P(A)+P(B).
Item 1
Se A\subset B, então P(A)=P(B)+P(B-A).
Item 2
Seja A, B e C eventos independentes se, e somente se, P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).
Item 3
Considere um conjunto finito A_1,A_2,\ldots,A_n, um conjunto de eventos tais que os eventos condicionais A_i\mid A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_{i-1} tenham probabilidades positivas. Então P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=P(A_1)\times P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cup A_2)\cdots P\left(A_n\mid\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right).
Item 4
Se dois eventos são disjuntos, então P(A\cap B)=P(A)P(B).
Questão 08
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Com relação aos testes de hipóteses, pode-se afirmar que:
Item 0
A probabilidade do erro tipo II só pode ser calculada a partir da definição de possíveis valores para o parâmetro desconhecido.
Item 1
A probabilidade do erro tipo I sempre pode ser controlada.
Item 2
A função característica da operação é uma função estritamente decrescente em relação ao parâmetro desconhecido.
Item 3
Num teste de hipóteses para a média, quando a variância populacional é desconhecida, devemos utilizar a estatística t que tem distribuição nt, em que n é o tamanho da amostra aleatória retirada da população de interesse.
Item 4
Para uma amostra aleatória qualquer da população, espera-se que a média populacional, \mu, esteja contida no intervalo de confiança \left[\bar{X}-1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] igual a 95\%.
Questão 09
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Observe a função de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule a probabilidade para X\leq 2 e multiplique o resultado por 10.
F(x)=\begin{cases}0, & \text{se } x\lt 0 \\ \frac{x^2}{20}, & \text{se } 0\leq x\leq 5 \\ -\frac{x^2}{20}+\frac{2}{5}x-1, & \text{se } 5\leq x\lt 10 \\ 1, & \text{se } x\geq 10\end{cases}
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Questão 10
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Considere a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, de acordo com a tabela abaixo:
| X | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||
| Y | 1 | \frac{1}{4} | \frac{1}{8} | \frac{1}{8} | \frac{1}{4} |
| 2 | 0 | \frac{1}{8} | \frac{1}{8} | 0 | |
Pode-se afirmar que:
Item 0
E(X)=3/2.
Item 1
Var (X) = 1.
Item 2
Cov (X,Y)=0.
Item 3
Var (X | Y=2)= 1.
Item 4
Se Z = 2X + 4Y, então Var(Z) =4.
Questão 11
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Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x)=2(1-x), para 0\leq x\leq 1, e f(x)=0 caso contrário. Sendo Y=6X+10, obtenha a variância de Y.
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Questão 12
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Suponha que Y_t seja uma série temporal representada pelo seguinte processo:
Y_t=\delta+Y_{t-1}+u_t, em que u_t é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições:
\operatorname{E}(u_t)=0,\quad \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma_u^2,\quad \operatorname{E}(u_tu_s)=0, para t\neq s.
Suponha também que X_t seja uma série temporal representada pelo seguinte processo:
\Delta X_t=\alpha+\Delta X_{t-1}+e_t, em que e_t é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições: \operatorname{E}(e_t)=0,\quad \operatorname{E}(e_t^2)=\sigma_e^2,\quad \operatorname{E}(e_te_s)=0 para t\neq s,
É correto afirmar:
Item 0
A série Y_t é integrada de ordem 0 (estacionária);
Item 1
A série X_t não é estacionária, pois possui ordem de integração 2;
Item 2
A série \Delta Y_t é estacionária;
Item 3
A série \Delta X_t é estacionária;
Item 4
Se Z_t=(X_t+W_t), podemos dizer que Z_t não é uma série estacionária.
Questão 13
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Considere dois eventos, A e B, os quais são mutuamente excludentes, sendo P(A) a probabilidade de ocorrência de A e P(B) a probabilidade de ocorrência de B, então:
Item 0
P(A|B) = 0;
Item 1
P(B|A) = 1;
Item 2
A e B são independentes se, e somente se, P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B);
Item 3
A e B são independentes se P(A|B) = P(A);
Item 4
A e B são independentes se P(B|A) = P(B).
Questão 14
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Suponha que as vendas (Q) do produto X são aleatoriamente distribuídas na economia e possuem uma distribuição binomial com parâmetro p (preço), sendo n o número de vendas observado, então:
Item 0
A esperança matemática de Q é E(Q) = n(1-p);
Item 1
A média das vendas é dada por E(Q) = np;
Item 2
A variância das vendas por Q ou V(Q) = np(1-p);
Item 3
O preço que maximiza a variância é p = ½;
Item 4
O preço está no intervalo 0 e 1.
Questão 15
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Considere os modelos lineares y_t=\beta_1x_t+u_{1t} e x_t=\alpha_1x_{t-1}+\alpha_2y_{t-1}+u_{2t}, em que u_{1t} e u_{2t} possuem distribuição normal bivariada, variância \operatorname{Var}(u_{1t})=\sigma_{11}^2, variância de u_{2t} igual a \sigma_{22}^2 e covariância \operatorname{Cov}(u_{1t},u_{2t})=\sigma_{12}^2. A avaliação da exogeneidade das variáveis depende dos seguintes resultados:
Item 0
Se \sigma_{12}^2=0, então x_t é fracamente exógeno porque a distribuição marginal de x_t não envolve \beta_1 ou \sigma_{11};
Item 1
A segunda equação demonstra que x_t depende de y_{t-1}, portanto y_t precede x_t;
Item 2
Assumindo que ambas as equações sejam verdadeiras, a variável x_t não pode ser fortemente exógena;
Item 3
Se \alpha_2=0, então x_t é fortemente exógena;
Item 4
Se x_t for considerada fracamente exógena e não for causada no sentido de Granger por y_t, então x_t não é exógena.