Matemática – Anpec 2016
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
Enunciado da questão 01
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
5 participantes bebem os três tipos de bebida;
Enunciado da questão 01
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
4 participantes bebem vodka e martini, mas não bebem cerveja;
Enunciado da questão 01
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
10 participantes bebem somente cerveja;
Enunciado da questão 01
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
23 participantes não bebem Martini;
Enunciado da questão 01
Em uma festa com 50 participantes, somente 6 não ingerem bebida alcoólica. Sabe-se que 20 bebem vodka, 21 bebem martini e 22 bebem cerveja. Sabe-se também que 9 bebem vodka e martini, 8 bebem vodka e cerveja e 7 bebem martini e cerveja. Indique quais das seguintes alternativas são verdadeiras e quais são falsas:
Daqueles participantes que ingerem bebidas alcoólicas, 22 não bebem cerveja.
Questão 02
Enunciado
Seja (x_0,y_0) o ponto da parábola y=2x^2+5 que está mais próximo da reta y=x. Calcule \frac{y_0}{x_0} e apresente como resposta a parte inteira desse valor.
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Questão 03
Enunciado
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função f(x)=x^3+x é uma bijeção de \mathbb{R} em \mathbb{R};
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se f(x)=4x(1-x) e g(x)=f^{(n)}(x) (composição de f consigo mesma “n” vezes), então g'(3/4)=(3/4)^n;
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
O produto de funções sobrejetoras em \mathbb{R} é uma função sobrejetora em \mathbb{R};
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Uma função que a cada candidato associe a nota obtida na prova é uma função injetora;
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se f(x)=4x(1-x) é definida no domínio [0,1], a função f^{(3)}(x)=f(f(f(x))) tem 4 máximos absolutos em [0,1].
Questão 04
Enunciado
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 04
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Soma de matrizes de permutação da mesma ordem é uma matriz de permutação;
Enunciado da questão 04
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Produto de matrizes de permutação da mesma ordem é uma matriz de permutação;
Enunciado da questão 04
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Se M\in\mathbb{R}^{n\times n} é uma matriz de permutação e v\in\mathbb{R}^{n\times 1} é um vetor qualquer, então Mv e v têm a mesma norma;
Enunciado da questão 04
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Seja M\in\mathbb{R}^{n\times n} uma matriz de permutação e S=\{[v_1\cdots v_n]^T\in\mathbb{R}^{n\times 1}\mid \sum_{i=1}^{n}v_i=1\}. A transformação linear T(v)=Mv deixa invariante o conjunto S, ou seja, T(S)\subset S;
Enunciado da questão 04
Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
Se M\in\mathbb{R}^{n\times n} é uma matriz de permutação e M^2=MM=I (matriz identidade), então M=I.
Questão 05
Enunciado
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 05
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
O conjunto A é diferente do vazio, para qualquer f nas condições do enunciado;
Enunciado da questão 05
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
① Se f é contínua, então o conjunto A é unitário;
Enunciado da questão 05
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se f é contínua, f(0)=1, f(1)=0, então o conjunto A é diferente do vazio;
Enunciado da questão 05
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se f é contínua e estritamente crescente, então A é unitário;
Enunciado da questão 05
Seja f:[0,1]\to[0,1] uma função tal que f([0,1])=[0,1], isto é, a imagem de f é [0,1].
Defina o conjunto A=\{x\in[0,1]:f(x)-x=0\}. Julgue as seguintes afirmativas:
O conjunto A sempre é finito, para qualquer f nas condições do enunciado.
Questão 06
Enunciado
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função é crescente no intervalo \left[0,+\infty\right[;
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função tem derivada não nula no intervalo [-3,0];
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função é côncava no intervalo [-1,1];
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função tem inversa no intervalo [0,3];
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte função: f(x)=3x^4-4x^3-36x^2+5. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Questão 07
Enunciado
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 07
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
Sabendo que \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}, então \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2x^2+3x}\,dx=\sqrt{\pi}e^{9/8};
Enunciado da questão 07
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
A área compreendida entre as curvas y=-x^2+6 e y=x é \frac{125}{6};
Enunciado da questão 07
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}(nx)\,dx=\frac{2(-1)^{n/2}}{n}, se n é um número par;
Enunciado da questão 07
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
\int_1^{e^2}x^3\ln(x)\,dx=\frac{7e^8+1}{16};
Enunciado da questão 07
Analise a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
Seja F(x)=\int_{e^x}^{e^{x^2}}(\ln(t))^2\,dt. Então F'(2)=4(16e^4-e^2).
Questão 08
Enunciado
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Enunciado da questão 08
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Se A for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução;
Enunciado da questão 08
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Se A tiver posto máximo, então a solução do sistema é única;
Enunciado da questão 08
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Se, no item anterior, tivermos m < n, então a solução é única;
Enunciado da questão 08
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz, A então o sistema tem pelo menos uma solução;
Enunciado da questão 08
Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m\times n e b um vetor de ordem m\times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
Se A for uma matriz diagonal com determinante |A|\neq 0, então a média geométrica de x_1,x_2,\ldots,x_n é inversamente proporcional a \sqrt[n]{|A|}, em que (x_1,x_2,\ldots,x_n) é solução do sistema.
Questão 09
Enunciado
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Enunciado da questão 09
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Se f é diferenciável e homogênea de grau r, então \nabla f tem componentes que são funções homogêneas de grau r-1
Enunciado da questão 09
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Se existe r\in\mathbb{R} tal que x\cdot\nabla f(x)=rf(x) para todo x\in\mathbb{R}_+^n, então f é homogênea de grau r
Enunciado da questão 09
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Soma ou diferença de funções homogêneas é uma função homogênea;
Enunciado da questão 09
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Se f é homogênea de grau r e para w\in\mathbb{R}_{++}^n, isto é, w=(w_1,\ldots,w_n) com w_i\gt 0, para 1\leq i\leq n, fixo definimos a função de \mathbb{R}_+ em \mathbb{R}: c(q)=\min\{wx\mid f(x)=q\}, então a função c(q) também é homogênea de grau r
Enunciado da questão 09
Em relação a funções de \mathbb{R}_+^n em \mathbb{R}, podemos afirmar:
Se f é diferenciável e homogênea de grau r e y=f(x), então a soma das elasticidades de y em relação a cada um dos x_i, 1\leq i\leq n, é igual a r, onde x=(x_1,\ldots,x_n)
Questão 10
Enunciado
Seja R={(x,y)\in[0,4]\times[0,4]\mid \min{x,x^2}\le yle \max{x,x^2}} e f(x,y)=xy^2. Calcular \iint_R f(x,y),dxdy. Apresente como resposta a parte inteira desse valor.
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Questão 11
Enunciado
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 11
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Sob expectativas racionais, um preço estacionário é \bar{p}=2
Enunciado da questão 11
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Sob expectativas racionais, a dinâmica de preços fica oscilando sem convergir ao preço estacionário;
Enunciado da questão 11
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Sob expectativas racionais, se p_0=19 e p_1=3, então p_3=\frac{8}{3}
Enunciado da questão 11
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se as expectativas são adaptativas, no sentido de p_{t+1}^e=p_{t-1}, então o novo preço estacionário é \bar{p}=4
Enunciado da questão 11
A curva de demanda de mercado de um produto no instante t é D_t=10-\frac{1}{2}P_t e, por causa de lucros auferidos no período anterior e a expectativa de preços futuros, a curva de oferta desse produto no instante t é S_t=18+\frac{1}{2}P_t-6p_{t+1}^e+p_{t-1}, em que p_{t+1}^e é a expectativa de preços futuros. Diremos que as expectativas são racionais se p_{t+1}^e=p_{t+1}.
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se as expectativas são adaptativas, no sentido de p_{t+1}^e=p_{t-1}, então a dinâmica de preços é explosiva.
Questão 12
Enunciado
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 12
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se a\lt 1, então a solução é (x,y)=(5,2).
Enunciado da questão 12
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se a\gt 1, então a solução é (x,y)=(0,5).
Enunciado da questão 12
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se a=1, então a solução é única e satisfaz: x+y=5, 3\leq x\leq 5.
Enunciado da questão 12
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se a primeira restrição do item anterior mudasse para bx+y-5\leq 0, com 0\lt b\lt 1, então a solução seria (x,y)=(3,5).
Item anterior:
Se a=1, então a solução é única e satisfaz: x+y=5, 3\leq x\leq 5.
Enunciado da questão 12
Considere o problema de maximizar f(x,y)=ax+y, com a\gt 0, sujeito às restrições: x+y-5\leq 0, y\leq 2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se no item anterior tivermos 0\lt b\lt a\lt 1, então a solução seria (x,y)=\left(\frac{5}{b},0\right).
Item anterior:
Se a primeira restrição do item anterior mudasse para bx+y-5\leq 0, com 0\lt b\lt 1, então a solução seria (x,y)=(3,5).
Questão 13
Enunciado
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 13
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A sequência \left(1+\frac{a}{n}\right)^r converge para todo real a e todo racional r fixados;
Enunciado da questão 13
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se \{a_n\}_{n\geq 1} é uma sequência de números positivos tal que \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge, então \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^2 também converge;
Enunciado da questão 13
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2-1}=\frac{3}{2}
Enunciado da questão 13
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{2\cdot 4^n-3\cdot 2^n+1}=1
Enunciado da questão 13
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se 0\lt a\lt 1, então \sum_{n=0}^{+\infty}a^n\cos(n\pi)=\frac{a}{1-a^2}
Questão 14
Enunciado
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 14
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
A taxa de variação de f em (1,0) é máxima na direção do vetor v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right);
Enunciado da questão 14
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
A taxa de variação máxima de f em (1,0) é 2;
Enunciado da questão 14
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)-3, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Enunciado da questão 14
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
Se x(t)=2t+1 e y(t)=t^3, então \frac{dz}{dt}=2, em t=0, em que z=f(x,y);
Enunciado da questão 14
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dada por f(x,y)=xe^{-y}+3y.
Julgue as seguintes afirmativas:
Se g(x,y)=xe^{-y}, então os pontos da curva de nível um de g satisfazem à equação y=\ln x.
Questão 15
Enunciado
Considere a equação diferencial abaixo:
y''(x)-3y'(x)=0, tal que y(1)=1+2e^3 e y'(1)=6e^3.
Encontre y'(0).
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